Kurvor

Polära koordinater. Skriv in en annan funktion av x.

Implicita funktioner

GeoGebra skiljer på ekvationer och funktioner. Funktioner skrivs med hjälp av parenteser, exempelvis som \(f(x)\). Ekvationer skrivs med hjälp av \(x\) och \(y\), exempelvis som \(y=x^2\). I detta fall kan \(y\) uttryckas explicit som en formel av \(x\). Eftersom \(y\) är entydigt bestämt av \(x\), är den en funktion av \(x\). En ekvation är ett mer generellt begrepp än en funktion. En ekvation beskriver en relation mellan \(x\) och \(y\), och det är inte alltid så att \(y\) explicit kan formuleras med hjälp av \(x\). Ekvationen \(x^2+y^2=1\) definierar en kurva som är enhetscirkeln. Alla punkter som satisfierar ekvationen ligger på enhetscirkeln. Kurvan är implicit definierad av ekvationen. I GeoGebra kallas sådana kurvor Implicita kurvor.

Man kan alltid skriva in en funktion i endera av de två formerna, men om man skriver ett icke-polynom som en ekvation, ändrar GeoGebra på definitionen. Skriv in y=e^x+sin(x) och y=x^2 i inmatningsfältet. Betrakta sedan hur de definieras i algebra fönstret!

Kommandon som tar en funktion som parameter, fungerar inte på ekvationer. Om a är ekvationen y=x^2, kan man inte använda kommandot Extrempunkta. Om man vill använda kommandon för funktioner, måste funktionerna skrivas in som funktioner!

Om en ekvation bara innehåller polynom i \(x\) och \(y\), kan GeoGebra hantera ekvationen och rita upp kurvan som definieras av ekvationen. Ekvationen för en ellips kan skrivas \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) och ekvationen för en hyperbel kan skrivas \(\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Lägg in två glidare a och b, skriv sedan in ekvationerna för en ellips och en hyperbel i inmatningsraden!

image

För kägelsnitt finns det dessutom särskilda verktyg. Dessa verktyg finns under Ellips-verktyget.

Ett exempel på två animerade fjärdegradspolynom i två variabler, visas i appleten nedan.

Animerad hjärta och smiley.

Polära koordinater

I GeoGebra kan man använda polära koordinater då man definierar en punkt. Då man använder polära koordinater, används semikolon som skiljetecken, exempelvis som A=(r;α). Se Lär dig GeoGebra - Polära koordinater för mer information. Genom att låta vinkeln bero på en glidare t, och genom att definiera en funktion r(x), kan man få fram den kurva som punkten A=(r(t);t) genomlöper. Använd verktyget Geometrisk ort, klicka på punkten och sedan på glidaren. Under Inställning för Ritområde, under rutnätsfliken, kan man ändra rutnätet till polär form.

image

Polära koordinater kan skrivas som Kartesiska koordinater genom att låta \(x=r\cos(t)\) och \(y=r\sin(t)\). Detta kan användas för att rita kurvan som en parametrisk kurva istället för att använda Geometrisk ort.

Parametriska kurvor

Om x- och y-koordinaterna båda beror på en variabel t, beskriver de en parametrisk kurva med parametern t. Varje punkt på kurvan beskrivs av koordinaterna \((x(t),y(t))\). Genom att låta t variera mellan värdena start och stopp kan man rita kurvan k genom att skriva in: k=Kurva[ x(t), y(t), t, start, stopp]

Man kan alltid göra om en vanlig funktion till en parametrisk funktion. Exempelvis kan man rita grafen till funktionen \(f(x)=x^2,-10\leq x \leq 10\) genom att skriva in koden:

	k = Kurva[t, t^2, t, -10, 10]

Gör en Lissajous-kurva

Animerad Lissajous kurva. Då a=1 är det en cirkel.

En Lissajous-kurva uppkommer om man har periodisk rörelse längs både x- och y-axeln. En sådan kurva visas i appleten ovan.

Kurvan i appleten ovan är gjord med följande kommando:

	k = Kurva[cos(t), sin(a t), t, 0, tmax]

där tmax är den animerande glidaren.

En generell Lissajous-kurva kan skrivas:

\( \left\{ \begin{align*} x &= A\sin (at+\delta)\\ y &= B\sin (bt) \end{align*} \right. \)

Anaglyfisk 3D animering av Lissajous-kurva

Man måste ha anaglyfiska glasögon i röd och cyan för att se 3D-effekten.

Anaglyfisk animerad Lissajous kurva.

Varning: Om man använder anaglyfiska glasögon då man jobbar i 3D, kan man drabbas av extrem huvudvärk och yrsel.

Om man använder beta versionen GeoGebra 5.0, kan man göra en riktig 3D kurva. Ladda ner från följande forum post.

image

Se Damped Lissajous Curves för mer information.

Damped Lissjous curve

mer info:

Wikipedia: Algebraic curve

Lissajou-kurvor kan ritas upp av harmonographs

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se