∅  
 

Vektorer

Fem myror som jagar varandra. Flytta de stora vita punkterna!

En vektor har en längd och en riktning. I GeoGebra gör man en vektor antingen genom att använda ett verktyg eller inmatningsraden. Se Lär dig GeoGebra - Kartesiska koordinater för information om hur GeoGebra skiljer mellan punkter och vektorer. Vektorer används ofta för att parallellförflytta objekt.

Translationer

Translation längs vektor

Flera parallellförflyttade polygoner. Dra i punkterna!
  • Gör en vektor och en polygon.
  • Gör translaterade kopior av polygonen (hitta verktyget)
  • Ändra på vektorn och på den ursprungliga polygonen.

Enhetsvektorer

Enhetsvektorer är vektorer som har längden en enhet. I GeoGebra gör man en enhetsvektor med hjälp av kommandot Enhetsvektor[< vektor > ]. I det översta arbetsbladet, jagar myrorna varandra i en medurs ordning. Längden av varje förflyttning ges av glidaren speed. Om A1 och B1 representerar den första och den andra myrans respektive position, så får man nästa position för den första myran med hjälp av koden:

A2 = A1+speed*Enhetsvektor[Vektor[A1,B1]]

Det enklaste sättet att modellera myror som jagar varandra i GeoGebra, är att använda kalkylbladet.

Translationer längs två vektorer

Gör en vektor som åstadkommer samma resultat som de två vektorerna!

Den blå polygonen translateras först längs den gröna vektorn, resultatet är den gröna polygonen. Sedan translateras den gröna polygonen längs den gula vektorn, resultatet är den gula polygonen.

  • Gör en ny vektor i appleten ovan.
  • Translatera den blå polygonen längs den nygjorda vektorn.
  • Hur skall din nya vektor skapas för att resultatet av din translation alltid skall överlappa den gula polygonen?

Om du lyckas med uppgiften har du åstadkommit en translation som ger samma resultat som två translationer. Detta ger oss ett rimligt sätt att definiera vektoraddition.

Vektoraddition

Vektoraddition definieras på följande sätt:

Dynamisk demonstration av vektoraddition.

Från konstruktionen ovan ser man att w=u+v=v+u; det spelar alltså ingen roll i vilken ordning man adderar vektorerna; man säger att vektoraddition kommuterar.

Man kan också representera vektoraddition grafiskt som en parallellogram.

Bas och koordinater

En skalär är ett reellt tal (tills vidare). När man håller på med vektorer behöver man kunna skilja på kvantiter som har riktning, och kvantiteter som saknar riktning.

Övning - Multiplikation med en skalär

  • Gör en vektor u som utgår från origo.
  • Skriv in 2*u i inmatningsraden.
  • Skriv in -u i inmatningsraden.
  • Ändra på vektorn u.
  • Gör en glidare a. Skriv in a*u i inmatningsraden. Beskriv vad som händer då en vektor multipliceras med en skalär; en positiv eller negativ skalär.

Vad händer då man multiplicerar med noll? Är resultatet en vektor? Vore det rimligt att kalla "nollvektorn" för en vektor eller ej? Om nollvektorn är en vektor på vilket vis skiljer den sig då från andra vektorer?

Några definitioner

Två icke-parallella vektorer, varav ingen är en nollvektor, kan utgöra en bas för planet. Givet en bas kan en godtycklig vektor skrivas som en linjärkombination av basvektorerna.

Om basvektorerna kallas \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\), kan en godtycklig vektor \(\mathbf{w}\) skrivas som

\[\mathbf{w}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\]

för några skalärer \(a\) och \(b\). \(\mathbf{w}\) är en så kallad linjärkombination av \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\). De två skalärerna \(a\) och \(b\) kallas för koordinaterna för vektorn \(\mathbf{w}\) i basen \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\).

w är en linjär kombination av basvektorerna u och v.

Om basvektorerna är givna finns det förenklade sätt att skriva vektorn på, antingen som

\[\mathbf{w}=(a,b) \hspace{1cm} \text{eller} \hspace{1cm} \mathbf{w}=\binom{a}{b}\]

Om man har två vektorer \(\mathbf{w}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\) och \(\mathbf{z}=c\mathbf{u}+d\mathbf{v}\), kan man addera dem på följande vis:

\[\binom{a}{b}+\binom{c}{d}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{u}+d\mathbf{v}=(a+c)\mathbf{u}+(b+d)\mathbf{v}=\binom{a+c}{b+d}\]

I GeoGebra används det underliggande koordinatsystemet för att definiera de två basvektorerna. Den första basvektorn är en vektor som börjar i origo och pekar på punkten (1,0), den andra basvektorn pekar på (0,1). En bas för vilken varje basvektor är en enhetsvektor, och där basvektorerna är ömsesidigt ortogonala (vinkelräta mot varandra), kallas för en ortonormerad bas eller ON-bas.

Ortsvektorer

Om man har två punkter i koordinatplanet, kan man göra en vektor mellan punkterna. Genom att välja basvektorerna så att de utgår från origo och pekar på koordinaterna (1, 0) respektive (0, 1), får man en behändig bas om man vill jämföra vektorns koordinater med punkternas koordinater.

Vektorn w kan beskrivas som en ortsvektor.

Om \(\mathbf{w}\) pekar på punkten \(P\), så är koordinaterna till vektorn \(\mathbf{w}\) samma som koordinaterna till punkten \(P\).

\(\mathbf{w}\) är en vektor som utgår från punkten \(O\) och pekar på punkten \(P\), där \(O\) är origo.

\[\mathbf{w}=\vec{OP}\]

\(\vec{OP}\) är en så kallad ortsvektor; den är en vektor mellan punkterna O och P och kan därför inte flyttas. Vill man ha en flyttbar vektor, introducerar man en vektor w och låter \(\mathbf{w}=\vec{OP}\).

Hur man når en punkt i koordinatplanet

Två sätt att nå punkten C.

Genom upprepad vektoraddition finner man att \(\mathbf{z}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}\); eller uttryckt i ortsvektorer

\[\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{BC}\]

Vektorsubtraktion

Då två vektorer \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\) subtraheras, får man resultat, vektorn \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\), genom att gå från spetsen på \(\mathbf{v}\) till spetsen på \(\mathbf{v}\). Se konstruktionen nedan!

Vektorsubtraktion.

Detta resultat är speciellt användbart då man försöker bestämma koordinaterna för en vektor som ligger mellan två punkter i ett koordinatplan.

Om vektorn \(\vec{PQ}\) ligger mellan punkterna \(P\) och \(Q\) med kända koordinater; kan man bestämma koordinaterna för \(\vec{PQ}\) genom att använda vektorsubtraktion.

Koordinaterna till PQ.

Eftersom \(\vec{OP}\) och \(\vec{OQ}\) har samma koordinater som punkterna \(P\) och \(Q\), kan man bestämma koordinaterna för \(\vec{PQ}\) med hjälp av:

\[\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}\]

Linjens ekvation - övning

Genom punkt längs vektor

Linje genom punkt längs vektor.

Givet punkterna O och A, vektorn u och parametern t, kan man bestämma ekvationen för en vektor r som i konstruktionen ovan. Punkten P är r's slutpunkt. Om t kunde anta alla reella värden skulle P kunna nå vilken punkt som helst på linjen.

I konstruktionen nedan är objekten O, A, u och t givna (det finns även andra objekt men deras namn är gömda). Använd dessa fyra objekt för att konstruera vektorer och/eller punker så att en vektor r som i konstruktionen ovan kan konstrueras. Du kan göra nya objekt med hjälp av kommandona:

w=Vector[<Startpunkt>,<Slutpunkt>]
w=u+v (där u och v är redan definierade vektorer)
w=a*u (där a är ett tal och u en vektor, bägge definierade)

 

Konstruera OP med hjälp av u och t!

Genom två punkter

Linje definierad av två punkter.

Givet tre punkter O, A och B samt parametern t, kan man bestämma ekvationen för en vektor r som i konstruktionen ovan. Punkten P är r's slutpunkt. Om t kunde anta alla reella värden skulle P kunna nå vilken punkt som helst på linjen.

I konstruktionen nedan är objekten O, A, B och t givna (det finns även andra objekt men deras namn är gömda). Använd dessa fyra objekt för att konstruera vektorer och/eller punker så att en vektor r som i konstruktionen ovan kan konstrueras.

Konstruera OP med hjälp av A,B och t!

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se

 

  ∅