Approximera πApproximera π
Arkimedes π (≈250 BC)
 |
Den inskrivna polygonens omkrets< Cirkelns omkrets< Den omskrivna polygonens omkrets Arkimedes använde en 96-sidig polygon och fick att:
Denna metod är lätt att använda om man kan använda trigonometri. Arkimedes använde emellertid endast geometri och grekiska siffror! |
Liu Huis π (≈250 AD)
 |
Liu Hui använde areor och insåg att: Han använde det faktum att om du känner till sidan i en regelbunden n-sidig polygon, så kan du bestämma sidan i en regelbunden 2n-sidig polygon. (Precis som Arkimedes använde han inte trigonometri och inte decimala tal) |
Liu Huis metod
Det här är inte hela metoden, bara några detaljer. (Googla för mer information) Börja med en cirkel med radie r och en n-gon med en känd sida s0. Bestäm sidan av polygonen med 2n sidor, s1, uttryckt i r och s0. |
 |
Rekursionsformeln
- Bestäm sidan i en hexagon uttryckt i radien r
- Hitta på en radie med valfri längd. Låt s0 vara sidlängden i den regelbundna hexagonen, s1 sidlängden i en regelbunden dodekahedron, s2 längden i en regelbunden 24-gon, och så vidare. Bestäm en rekursionsformel för sn.
- Använd rekursionsformeln du fått fram och ett kalkylblad för att approximera π. Det är enklare att använda omkrets än att använda area.
Och sedan?
Anledningen till att Liu Hui använde areor istället för omkrets var att han kom på ett smart sätt att approximera en polygons area med ett rationellt tal, på så vis behövde han inte ta kvadratroten ur upprepade gånger.
Det finns inga kända noteringar om att π approximerades innan Arkimedes gjorde det. De som talar om tidigare approximationer hänvisar inte till några källor där konstanten π s egenskaper faktiskt framgår .
Arkimedes använde rationella tal som approximationer till kvadratrötter.
Han approximerade 
till 5 korrekta gällande siffror. Det är inte känt hur han gjorde
det.
Arkimedes (≈250 BC) använde en 96-gon.
Liu Hui (≈250 AD) använde en 3072-gon.
Zu Chongzhi (≈500 AD) använde en 12 288-gon och kom fram till att π ≈3.1415962, vilket var korrekt med 8 gällande siffror.
↓ 900 år senare |
|
Madhava av Sanganagrama (≈1400 AD) kom fram till 10 korrekta gällande siffror genom att använda en serie som sedan kom att kallas Leibniz serie. Leibniz upptäckte denna serie ≈1700 AD. |
|
↑ 300 år senare |
|
