Symmetrier

En triangel är roterad fyra gånger, sedan är allt speglat i y-axeln, sedan är allt parallellförflyttat längs vektorn.

Det finns tre symmetrier i planet: speglingssymmetri, rotationssymmetri och translationssymmetri (parallellförflyttning). Om två geometriska objekt är sådana att det ena objektet kan övergå i det andra genom en av de tre symmetrierna, då har objekten samma form och samma storlek. Två sådan objekt sägs vara kongruenta.

På sidan Geometri - Tesseleringar och symmetrier visas en jämförelse mellan speglingssymmetri och rotationssymmetri.


Speglingssymmetri

Övning 1 - Rita en spegelbild

image
  • Se till att koordinataxlarna inte visas.
  • Lägg in en linje genom punkterna A och B.
  • Lägg in en fri punkt C.
  • Använd verktyget Spegla objekt i en linje icon, klicka först på punkten C och sedan på linjen. Spegelpunkten C' skapas.
  • För att man skall kunna se skillnad på den fria punkten C (den man kan rita med) och den beroende punkten C', kan man variera utseendet på punkterna. Se till att speglingspunkterna ser olika ut.
  • Lägg spår på bägge punkterna genom att högerklicka på dem och markera Spår på. Rita en bild genom att dra i punkten C.
  • Man suddar bilden genom att exempelvis zooma in eller ut.

Övning 2 - Spegla i två linjer

Gör ännu en linje som är vinkelrät mot den ursprungliga linjen. Spegla både punkten C och punkten C' i den nya linjen. Lägg på spår och rita!

Övning 3 - Spegla en polygon i en linje

Lägg in en linje och en polygon. Gör sedan en spegelbild av polygon.


Translationssymmetri

På sidan Linjär Algebra - Translation längs vektor visas upprepade parallellförflyttningar.

 

Dynamisk tesselering gjord av punkter på trianglar.
Dra i punkterna!

En mer avancerad Processing-tesselering finns på sidan: Geometri - Tesseleringar och symmetrier.

Övning 4 - Parallellförflytta en polygon

image
  • Se till att koordinataxlarna inte visas.
  • Gör en vektor u genom två punkter A och B (använd verktyget Vektor mellan två punkter image).
  • Gör en polygon.
  • Använd verktyget Parallellförflytta objekt med vektor image. Klicka först på polygonen och sedan på vektorn u. En ny polygon skapas.
  • Dra i punkterna A och B för att förändra vektorns riktning och längd, då flyttar sig den andra polygonen.
  • Dra i punkterna som utgör hörn i den första polygonen, då ändras även den andra polygonen. Notera att man inte kan dra i punkterna som utgör hörn i den andra polygonen, dessa är beroende objekt.
  • Gör fler parallellförflyttade kopior genom att använda verktyget Parallellförflytta objekt med vektor image på den andra polygonen och sedan vektorn u, på den tredje polygonen och sedan vektorn u, ...

Övning 5- Gör en tesselering

image
  • Gör en triangel (inte regelbunden).
  • Lägg in en vektor u som går mellan två hörn i triangeln och en vektor v som går mellan två andra hörn.
  • Använd verktyget Parallellförflytta objekt med vektor image och gör en kopia av triangeln längs vektorn u och en kopia längs vektorn v.
  • Gör fler kopior av de nygjorda trianglarna.
  • Dra i punkterna som utgör hörn i den första triangeln, hela tesseleringen ändrar sig.
  • Om man vill färglägga områdena mellan trianglarna kan man göra en ny triangel på något ställe som täcker det vita mellanområdet; sedan parallellförflytta denna nya triangel med hjälp av vektorerna u och v.
image

Rotationssymmetri

image

Övning 6 - Rotera en polygon

  • Se till att koordinataxlarna inte syns.
  • Gör en polygon och en fri punkt.
  • Använd verktyget Rotera objekt kring punkt med vinkel image. Klicka på polygonen och sedan på den fria punkten, välj en vinkel i pop-up fönstret.

image

  • Flytta på den fria punkten (punkten E i bilden ovan) och ändra på polygonen.
  • Man kan också rotera polygonen kring en av de punkter som utgör hörn i polygonen.

Övning 7- Variera rotationsvinkeln med en glidare

  • Gör en polygon och en fri punkt (man kan också använda ett av hörnen som rotationspunkt).
  • Då man gör en roterad kopia av polygonen, måste man ange en vinkel. Istället för att ange vinkeln med ett tal kan man göra den varierbar med hjälp av en glidare. Hitta verktyget Glidare icon och klicka någonstans i ritytan. Ändra värdet på glidaren från tal till vinkel. Glidaren får namnet α.

image

  • Använd verktyget Rotera objekt kring punkt med vinkel image. Klicka på polygonen och sedan på den fria punkten, välj sedan α som vinkel (man hittar de grekiska bokstäverna i menyn till höger).

image

  • Ändra rotationsvinkeln genom att dra i punkten på glidaren.

Övning 8 - Variera rotationsvinkeln genom att dra i en vinkel

image
  • Gör två sträckor med en gemensam ändpunkt.
  • Använd verktyget Vinkel icon för att mäta vinkeln. Om punkterna har namn som i bilden till höger, klickar man därefter på B, A, C i den ordningen.
  • Vinkelns värde visas. Man ser i algebrafönstret att vinkeln fått namnet α. I stilfältet kan man välja om man vill visa namn eller värde.
    Vinkeln α skall nu användas för att ange rotationsvinkeln.

image

  • Gör en polygon och en fri punkt (man kan också använda ett av hörnen som rotationspunkt).
  • Använd verktyget Rotera objekt kring punkt med vinkel image. Klicka på polygonen och sedan på den fria punkten, välj sedan α som vinkel .
  • Ändra rotationsvinkeln genom att dra i sträckorna som bildar en vinkel.

Många transformationer

Övning 9 - Gör många transformationer genom att använda verktygen

I den översta appleten finns det fyra rotationer, fem speglingar och tio parallellförflyttningar. Efter att successivt ha gjort roterade kopior av triangeln, genom att rotera 72° kring origo, kan man spegla alla fem trianglar i y-axeln genom att markera allihop. Välj verktyget "Spegla objekt i en linje", markera sedan alla trianglar genom att dra med musen. Klicka sedan på y-axeln.

image

Man kan göra tio parallellförflyttade trianglar på ett liknande sätt.

Övning 10 - Gör många transformationer genom att använda kalkylbladet

När man använder kalkylbladet måste man skriva kommandon istället för att använda verktyg. Då man skriver ett kommando i inmatningsraden får man hjälp av GeoGebra som ger förslag på kommandon. Ett sätt att ta reda på hur ett kommando skall skrivas, är att använda verktyget i verktygslådan och sedan betrakta hur objektet är definierat i egenskapsfönstret.

image

Kommandona för att rotera runt origo, spegla i en linje, och parallellförflytta längs en vektor, är:

Rotera[ <Objekt>, <Vinkel> ]
Spegla[ <Objekt>, <Linje> ]
Flytta[ <Objekt>, <Vektor> ]

Gör en triangel. För att utföra transformationerna i kalkylbladet, döp om de tre punkterna och triangeln till A1, B1, C1, respektive D1. Klicka sedan på Visa kalkylblad för att se objekten i kalkylbladet.

image

Klicka på den lilla pilen "Formatfältet På/Av". Klicka sedan på "Visa inmatningsfält".

image

Markera cell A2. Skriv in Rotera[A1,72°] i inmatningsfältet och tryck Enter. Tryck Ctrl + o för att skriva grad-symbolen.

image

Dra den lilla kvadraten i det nedre högra hörnet av A2 över cellerna B2 och C2 för att göra relativa kopior.

image

Gör en relativ kopia av D1 till D2.

image

Markera cellerna A2 till D2 och gör relativa kopior tre rader neråt.

image

Skriv in Spegla[A1,yAxeln] i cell A6 och gör relativa kopior till cellerna B6 och C6. Gör en relativ kopia av D5 till D6.

image

Gör relativa kopior av rad 6.

En mer generell version av detta exempel, med användning av listor, visas på sidan Lär dig GeoGebra - Listor.

För mer information om kalkylbladet, se Lär dig Geogebra - Kalkylblad.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se