Komplexa tal

Ändra glidarna a,b,c,d för att se olika Möbius avbildningar av de röda formerna.
På grund av det stora antalet objekt, rekommenderas en bra browser (Chrome).

I GeoGebra kan man skriva in ett komplext tal i inmatningsraden genom att använda i som den imaginära enheten; exempelvis z=2+3i. Talet dyker upp i ritytan som en punkt vilken man kan flytta. Man kan också använda verktyget Komplext tal som finns i menyn under verktyget Ny punkt.

The finns GeoGebra-funktioner som verkar på både komplexa tal och punkter. Funktionerna abs(z), arg(z) och conjugate(z) behöver ingen förklaring. För att få realdelen respektive imaginärdelen använder man x(z) respektive y(z).

Man kan använda aritmetiska operationer på komplexa tal, och vissa komplexvärda funktioner fungerar. Om man exempelvis har ett komplext tal z, kan man definiera ett annat tal w genom att skriva w=e^z. Då man flyttar runt z flyttas även w.

Avbilda mängder på mängder

Man kan inte rita upp grafen till en komplexvärd funktion eftersom detta skulle kräva fyra dimensioner. Det finns istället andra sätt att visualisera komplexvärda funktioner. Ett sådant sätt är att avbilda alla punkter i en mängd i det komplexa talplanet. Det är ganska enkelt att i GeoGebra visa hur mängder transformeras genom olika avbildningar. I appleten nedan, avbildas alla punkter på en cirkel, och på en linje, på nya mängder i det komplexa talplanet.

Dra i de röda punkterna för att betrakta olika komplexa avbildningar av en cirkel.

Avmarkera alla avbildningar utom de gröna (\(u=\frac{1}{z}\))! Notera att cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer. Avbildningen \(f(z)=\frac{1}{z}\) är ett exempel på en så kallad Möbius avbildning. Under en Möbius avbildning, avbildas alltid cirklar och linjer på cirklar eller linjer.

 

Dra i de röda punkterna för att betrakta olika komplexa avbildningar av en linje.

Använd Geometrisk Ort för att göra komplexa avbildningar

För att åskådliggöra komplexa avbildningar i GeoGebra gör man så här:

  • Gör en cirkel och lägg en punkt Z på cirkeln.
  • Skriv in en annan punkt U=1/Z, beräkningen av den nya punkten görs som om punkterna vore komplexa tal.
  • Använd verktyget geometrisk ort, klicka först på U och sedan på Z.

Man kan inte beräkna U=Z2 på detta vis. Tar man kvadraten av en punkt så blir resultatet punktens avstånd till origo i kvadrat. För att få GeoGebra att utföra kvadrering som en komplex operation kan man skriva U=Z^2+0i.

Möbius-avbildningar

En Möbius-avbildning är en avbildning som är vinkelbevarande. Om definitionsmängden är en rektangel, så kommer värdemängden att vara en figur vars alla fyra vinklar är 90°, den kommer dock inte (i allmänhet) att vara en rektangel. Appleten nedan visar Möbius-avbildningar av tre polygoner, man kan ändra polygonerna genom att dra i punkterna. Cirklar och linjer avbildas på cirklar eller linjer. Sträckor och bågar avbildas på sträckor eller bågar.

Dra i de röda punkterna för att placera polygonerna inuti varandra och betrakta Möbius-avbildningarna då de animeras!

En konsekvens av vinkelbevarandet är att cirklar som tangerar varandra, tangerar varandra även efter avbildningen. Detta åskådliggörs i den översta appleten.

Komplexa rötter

Ekvationen $$x^3=1 \Leftrightarrow x^3-1=0$$ har en enkel lösning om man bara är intresserad av de reella rötterna. Om man däremot vill finna alla rötter är den mer komplicerad. I GeoGebra finns det ett kommando ComplexRoot[] som hittar alla komplexa rötter till en polynomekvation. Prova exempelvis följande inmatning:

ComplexRoot[x^3-1]

i inmatningsraden.

mer info:

Ett annat sätt att visualisera komplexvärda funktioner - Wikipedia: Domain coloring

Doyle Spiral Circle Packings Animated, Alan Sutcliffe 2008 (pdf)

Möbius Transformations Revealed

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se