Komplexa tal

Komplexa avbildningar

Det finns ett verktyg för att lägga in ett komplext tal i ritområdet och man kan också lägga in ett tal i inmatningsraden, i används för att beteckna i.

Om man har en komplexvärd funktion av ett komplext tal, kan man inte rita dess graf eftersom detta hade krävt fyra dimensioner. Vill man beskriva komplexa avbildningar, kan man istället avbilda en mängd i komplexa talplanet på en annan mängd. I appleten ovan avbildas den röda cirkeln och i appleten nedan den röda linjen.

Använd Geometrisk Ort för att göra komplexa avbildningar

För att åskådliggöra komplexa avbildningar i GeoGebra gör man så här:

• Gör en cirkel och lägg en punkt Z på cirkeln.
• Skriv in en annan punkt U=1/Z, beräkningen av den nya punkten görs som om punkterna vore komplexa tal.
• Använd verktyget geometrisk ort, klicka först på U och sedan på Z.

Man kan inte beräkna U=Z2 på detta vis, tar man kvadraten av en punkt så blir resultatet punktens avstånd till origo i kvadrat.

Lägg märke till att under avbildningen \(f(z)= \dfrac{1}{z}\) avbildas cirklar/linjer på cirklar/linjer, detta är ett exempel på en så kallad Möbius-avbildning.

Möbius-avbildningar

En Möbius-avbildning är en avbildning som är vinkelbevarande. Om definitionsmängden är en rektangel, så kommer värdemängden att vara en figur vars alla fyra vinklar är 90°, den kommer dock inte (i allmänhet) att vara en rektangel. Appleten ovan visar Möbius-avbildningar av tre polygoner, man kan ändra polygonerna genom att dra i punkterna. Cirklar/linjer avbildas på…cirklar/linjer. Ett halvplan avbildas på en cirkelskiva.

Komplexa rötter

Ekvationen $$x^3=1 \Leftrightarrow x^3-1=0$$ har en enkel lösning om man bara är intresserad av de reella rötterna. Om man däremot vill finna alla rötter är den mer komplicerad. I GeoGebra 4 finns det ett kommando ComplexRoot[] som hittar alla komplexa rötter till en polynomekvation. Prova exempelvis följande inmatning:

i inmatningsraden.