∅

Trigonometriska funktioner

Transformationer

trig function 1 — Skriv in cos(x), tan(x) och x^3 i inmatningsrutan.

Grafen till \(f(x)+ a\) är grafen till \(f(x)\)
parallellförflyttad \(a\) enheter längs \(y\)-axeln .

Grafen till \(f(x+ a)\) är grafen till \(f(x)\)
parallellförflyttad \(-a\) enheter längs \(x\)-axeln.

För att förstå varför det blir \(-a\) enheter längs x-axeln, kan man betrakta likheten \(\sin 0=0\). Ekvationen \(\sin (x+a)=0\) har en lösning då \(x+a=0 \Leftrightarrow x=-a\). Punkten \((0,0)\) på grafen till \(\sin x\) motsvaras alltså av punkten \((-a,0)\) på grafen till \(\sin (x+a)\).

trig function 2 — Skriv in cos(x), tan(x) och x^3 i inmatningsrutan.

Grafen till \(bf(x)\) är grafen till \(f(x)\)
utdragen med en faktor \(b\) längs \(y\)-axeln.

Grafen till \(f(bx)\) är grafen till \(f(x)\)
utdragen med en faktor \(1/b\) längs \(y\)-axeln.

För att förstå varför det blir en faktor \(1/b\) längs x-axeln, kan man betrakta likheten \(\sin 2\pi =0\). Ekvationen \(\sin (bx)=0\) har en lösning då \(bx=2\pi \Leftrightarrow x=\frac{2\pi}{b}\). Punkten \((2\pi,0)\) på grafen till \(\sin x\) motsvaras alltså av punkten \(( \frac{2\pi}{b} ,0)\) på grafen till \(\sin (bx)\).

Om en periodisk funktion \(f(x)\) har perioden \(P\),
så har funktionen \(f(bx)\) perioden \(\frac{P}{b}\).

Kombinerade transformationer

trig function 3 — Observera skillnaden mellan den blå och den röda funktionen då a och b ändras.

Talet \(A\) i appleten ovan kallas amplituden till en sinus- eller cosinusfunktion. Amplituden är hälften av skillnaden mellan maximumvärdet och minumumvärdet till en sinus- eller cosinusfunktion. Amplituden är aldrig negativ. Om man förflyttar funktionen längs y-axeln genom att dra i glidaren B, förändras inte amplituden.

Då funktionen \(\sin (x)\) transformeras till \(A\sin (ax+b)+B\), dras grafen ut med faktorn \(\frac{1}{a}\) innan den förflyttas \(-b\) enheter längs x-axeln. Punkten \((0,0)\) på grafen till \(\sin (x)\), motsvaras av punkten \((\frac{-b}{a},B)\) på grafen till \(A\sin (ax+b)+B\).

Då funktionen \(\sin (x)\) transformeras till \(A\sin (a(x+b))+B\), förflyttas grafen \(-b\) enheter längs x-axeln innan den dras ut med faktorn \(\frac{1}{a}\). Punkten \((0,0)\) på grafen till \(\sin (x)\), motsvaras av punkten \((-b,B)\) på grafen till \(A\sin (a(x+b))+B\).

Inversa trigonometriska funktioner

trig function 4 — Dra i glidarna för att begränsa definitionsmängden så att man kan definiera en invers funktion.

För en förklaring av inversa funktioner, se Funktioner - Inversa och sammansatta funktioner.

De inversa funktionerna till sinus, cosinus och tangens skrivs \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\) respektive \(\arctan(x)\). Funktionerna skall utläsas "arcus sinus", "arcus cosinus" respektive "arcus tangens". I GeoGebra och de flesta andra datorprogram skrivs de asin(x), acos(x) respektive atan(x).

Man kan begränsa definitionsmängden till en trigonometrisk funktion på oändligt många olika sätt för att en invers funktion skall kunna definieras. Enligt konventionen definieras dock de inversa funktionerna på följande sätt:

funktion	definitionsmängd	värdemängd
\(\arcsin x\)	\(-1\le x \le 1\)	\(-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}\)
\(\arccos x\)	\(-1\le x \le 1\)	\(0\le y \le \pi\)
\(\arctan x\)	\(x \in \mathbb{R}\)	\(-\frac{\pi}{2}\lt y \lt \frac{\pi}{2}\)

trig function 5 — Klicka i rutorna för att se de andra inversa trigonometriska funktionerna.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se

∅

Från Eratosthenes till stjärnparallax ►