Enhetscirkeln

Triangel i enhetscirkel

Dra i den röda punkten!

Eftersom the trigonometriska förhållandena inte beror på triangelns storlek, kan man alltid välja en rätvinklig triangel för vilken hypotenusan är ett. Om man placerar en sådan triangel i ett koordinatsystem, som i appleten ovan, kommer hörnet \(A\) att hamna på en cirkel med radien ett. En cirkel med radien ett kallas för en enhetscirkel. Då hypotenusan är ett, är sinus och cosinus:

\[\sin \alpha = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\text{opp} \hspace{1cm} \cos \alpha = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\text{adj}\]

I appleten ser man också att \(\sin \alpha = y(A)\) och \(\cos \alpha = x(A)\) där \(x(A)\) och \(y(A)\) är \(x\)- respektive \(y\)-koordinaten till \(A\). Om man använder koordinaterna till \(A\), istället för förhållanden mellan sidor i en rätvinklig triangel, kan man utvidga definitionerna av sinus och cosinus så att de är definierade för alla vinklar.

I GeoGebra, visas alla vinklar som positiva och mindre än \(360^\circ\). Om en vinkel dras från positiva \(x\)-axeln i medurs riktning, är den emellertid en negativ vinkel. Dessutom kan vinklar vara större än \(360^\circ\). Om man använder enhetscirkeln för att definiera sinus och cosinus, så blir dessa funktioner definierade för alla vinklar. Observera att triangeldefinitionen fortfarande är giltig för en vinkel \(\alpha\) om \(0\lt \alpha \lt 90^\circ\).

Graferna till sinus och cosinus

Dra i den röda punkten för att rita graferna!

Om man skriver sin(x) eller cos(x) i GeoGebras inmatningsrad, så plottas graferna till sinus och cosinus för alla värden på \(x\). De delar av graferna som visas i appleten ovan, upprepas oändligt många gånger. Funktionerna är periodiska med perioden \(360^\circ\).

Om \(f(x)\) är en periodisk funktion med perioden \(P\), så är \(f(x)=f(x+P)\) för alla \(x\).

Plotta trigonometriska funktioner med användning av grader i GeoGebra

Notera att skalan på \(x\)-axeln inte överenstämmer med vinkeln. Detta beror på att GeoGebra använder enheten radianer istället för grader. Om man vill att GeoGebra skall använda grader, måste man skriva tecknet för grader, tryck på Ctrl+o för att skriva tecknet för grader. Koden skall se ut så här: sin(x°) eller cos(x°).

Image

Skala om \(x\)-axeln genom att trycka på Shift och dra sedan i \(x\)-axeln. I egenskapsfönstret för ritytan kan man ändra avståndet mellan de sträck som visas och även visa tecknet för grader som enhet.

Utvidga definitionen av tangens och cotangens

Dra i den röda punkten!

Om man använder triangeldefinitionen, så definieras tangens och cotangens så här:

\[\tan \alpha = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \hspace{1cm} \cot \alpha = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}\]

Övning 1

Använd konstruktionen i appleten ovan och visa att \(\tan \alpha = y(P)\) för alla \(0\lt \alpha \lt 90^\circ \).

Exercise 2

Använd konstruktionen i appleten ovan och visa att \(\cot \alpha = x(Q)\) för alla \(0\lt \alpha \lt 90^\circ \).

Graferna till tangens and cotangens

Dra i den röda punkten för att rita graferna!

Tangens och cotangens är periodiska funktioner med perioden \(180^\circ \).

\(\tan \alpha\) är inte definierad då \(\alpha = 90^\circ +n\cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z} \).

\(\cot \alpha \) är inte definierad då \(\alpha = n\cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z} \).

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se