∅  
 

Inversa och sammansatta funktioner

Inversa funktioner

Dra i den röda glidaren för att byta plats på axlarna.

Låt \(f(x)=3+2x\) vara en linjär funktion. Varje x-värde avbildas entydigt på ett y-värde som ges av \(y=3+2x\). Eftersom funktionen är linjär, kan man också till varje y-värde, på ett entydigt sätt bestämma ett x-värde. Man kan beskriva x som en funktion av y med formeln \(x=\frac{y-3}{2}\). Denna "omvända" funktion kallas för den inversa funktionen till \(f\) och betecknas \(f^{-1}\). Enligt konvention, brukar man låta y beteckna funktionsvärden och x de värden som en funktion verkar på. Då man bestämt den inversa funktionen (genom att lösa ut x) låter man därför y och x byta plats. Man skriver alltså \(y=\frac{x-3}{2}\).

\[ f(x)=3+2x \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\]

Om man betraktar grafen till en funktion, så får man grafen till den inversa funktionen genom att låta x-axeln och y-axeln byta plats.

Grafen till en invers funktion \(f^{-1}(x)\), är grafen till funktionen \(f(x)\) speglad i linjen \(y=x\).

Image

Alla funktioner har inte en invers funktion. För vissa funktioner får man då man byter plats på axlarna, en kurva som inte kan vara grafen till en funktion.

Sammansatta funktioner

En sammansatt funktion är en funktion av en funktion. Man använder symbolen \(\circ\) för att beteckna en sammansatt funktion.

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))\]

Låt g(x) vara 1/x. Vad händer om du skalar om x-axeln för att zooma in mot x=0?

Värdemängd och definitionsmängd

Definitionsmängden till en funktion \(f(x)\)
är mängden av alla \(x\)-värden för vilken funktionen är definierad.

Värdemängden till en funktion \(y=f(x)\)
är mängden av alla \(y\)-värden som funktionen antar.

Om man låter \(V_f\) beteckna värdemängden och \(D_f\) definitionsmängden till en funktion \(f(x)\), gäller det att:

\[V_f=\left\{f(x): x\in D_f\right\}\]

Funktionen är röd, värdemängden blå och definitionsmängden grön.

I appleten ovan ser man hur värdemängd och definitionsmängd påverkar sammansatta funktioner. Värdemängden till funktionen \(2^{\sqrt{4\sin(x)}}\) ser ut att vara intervallet \([1,4]\). Vill man resonera sig fram till vad värdemängden är, måste man börja med att betrakta den innersta funktionen i den sammansatta funktionen. Den innersta funktionen är \(4\sin(x)\).

Värdemängden till \(4\sin(x)\) är intervallet \([-4,4]\). Eftersom \(\sqrt{x}\) inte är definierad för negativa \(x\), blir definitionsmängden till \(\sqrt{x}\) intervallet \([0,4]\). Skriv in funktionen \(\sqrt{4\sin(x)}\) i appleten ovan (skriv sqrt(4sin(x)) ), värdemängden till \(\sqrt{4\sin(x)}\) blir \([0,2]\).

Intervallet \([0,2]\) blir nu definitionsmängd till funktionen \(2^x\). Värdemängden till \(2^{\sqrt{4\sin(x)}}\) blir därför \([2^0,2^2]=[1,4]\).

Begränsa definitionsmängden

En kurva är inte grafen till en funktion om det någonstans finns flera \(y\)-värden till ett enda \(x\)-värde. Om man speglar grafen till en funktion i linjen \(y=x\), så får man ibland en kurva som inte kan vara grafen till en funktion. Den inversa funktionen är i sådana fall inte definierad.

Om exempelvis \(y=x^2\), så är \(x=\pm \sqrt{y}\). För ett givet \(y\) finns det inget entydigt värde på \(x\). Funktionen \(f(x)=x^2\) har ingen invers funktion. Om man däremot begränsar definitionsmängden och gör en funktion som inte är definierad för negativa \(x\)-värden, så kan man definiera en invers funktion. Funktionen \(g(x)=x^2, x\ge 0\) har den inversa funktionen \(g^{-1}(x)=\sqrt{x}\).

Definitionsmängden till en funktion, blir värdemängden till den inversa funktionen; värdemängden blir definitionsmängd.

Dra i glidarna för att begränsa definitionsmängden så att man kan definiera en invers funktion.

I appleten ovan ser man att det finns flera sätt att begränsa definitionsmängden till \(\sin(x)\) så att det går att definiera en invers. Exempelvis kan man begränsa \(x\) till \(\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{3\pi}{2} \), i sådan fall får inversen värdemängden \(\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{3\pi}{2} \) och definitionsmängden \(-1\le x \le 1\). För att se hur the inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna definieras, se Trigonometri - Trigonometriska funktioner.

Testa även att skriva in funktionerna \(f(x)=x^2\), \(f(x)=\tan(x)\) och \(f(x)=10^x\) i appleten ovan.

Sammansättning av en funktion och dess invers

Om definitionsmängden och värdemängden till en funktion \(f(x)\) bägge är \(\mathbb{R}\), och om \(f(x)\) har en invers \(f^{-1}(x)\), så blir:

\((f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x\).

Exempel: Låt \(f(x)=3+2x\) och \(f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}\). Då blir

\[(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=f(\frac{x-3}{2})=3+2\frac{x-3}{2}=x\]

och

\[(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3+2x)=\frac{3+2x-3}{2}=x\]

Image

Om definitionsmängden eller värdemängden till \(f(x)\) är begränsad, så blir sammansättningarna av en funktion och dess invers också \(x\), men endast på ett intervall.

Låt f(x)=sin(x) och g(x)=asin(x) i den översta appleten på denna sida!

(Funktionen \(\arcsin(x)\) skrivs asin(x) i de flesta datorprogram, på motsvarande vis skrivs \(\arccos(x)\) och \(\arctan(x)\) som acos(x) och atan(x). )

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se

 

  ∅