Triangeldefinition

Genom historien har likformiga trianglar använts för att uppskatta avstånd som inte kan mätas direkt. Innan man hade miniräknare eller datorer, användes olika sorters trigonometriska tabeller som visade sidlängder av trianglar för olika vinklar.

Tabeller av kordor i det antika Grekland

Dra i den röda punkten för att rita grafen!

Den första trigonometriska tabellen gjordes av Hipparchus ( ≈ 150 f.Kr ) som också anses vara trigonometrins fader. Hipparchus originalarbete finns inte bevarat men Ptolemaeus ( ≈ 150 e.Kr ) refererar till honom i sin berömda bok Almagest. I Almagest finns det trigonometriska tabeller av kordor. En korda är en sträcka vars ändpunkter ligger på en cirkel. Ptolemaeus använde basen 60 då han räknade och han använde grader för att mäta vinklar. Cirkeln i tabellen har därför radien 60.

Kordan som funktion av vinkeln, vilken visas i appleten ovan, är en anakronism (liksom appleten själv). Att plotta grafer av funktioner gjordes först många århundraden efter Ptolemaeus.

Tabeller av halva kordor i Indien

Dra i de röda punkterna för att rita grafen!

Den indiske matematikern Aryabhata ( ≈ 500 e.Kr ) var den förste som gjorde en tabell av halva kordor istället för av kordor. Då man använder kordor är trianglarna likbenta. Då man använder halva kordor är trianglarna rätvinkliga.

Ordet sinus etymologi

Aryabhata kallade sina halva kordor för ardha-jya (på sanskrit), vilket förkortades till jya. Från detta ord myntade araberna ordet jiba som betyder halv korda. Eftersom vokaler inte skrevs ut, skrev man ordet jiba som jb. Då mathematiken/vetenskapen återvände till Europa (≈ 1 K år efter Ptolemaeus), trodde europeiska vetenskapsmän att jb stod för jaib, vilket betydde "grotta" eller "bukt". De översatte därför fel ord till det latinska ordet sinus.

Triangeldefinitioner av sinus och cosinus

Dra i punkten A för att rita graferna!
Image

Om man använder beteckningar som i bilden ovan, så definieras de trigonometriska funktionerna så här

\[\sin \alpha = \frac {\text{motstående}}{\text{hypotenusa}} \]

\[\cos \alpha = \frac {\text{närliggande}}{\text{hypotenusa}} \]

\[\tan \alpha = \frac {\text{motstående}}{\text{närliggande}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]

Inverterade trigonometriska funktioner

Om man skall bilda förhållandet mellan två sidor i en triangel, så kan detta göras på sex olika sätt. De tre förhållanden som oftast används är sinus, cosinus och tangens. Alla sex förhållanden har dock namn. De tre mindre vanliga förhållanden är cosecant (\(\csc \)), secant (\(\sec \)) och cotangens (\(\cot \)). Dessa definieras så här:

\[\csc \alpha = \frac {\text{hypotenusa}}{\text{motstående}} = \frac{1}{\sin \alpha}\]

\[\sec \alpha = \frac {\text{hypotenusa}}{\text{närliggande}} = \frac{1}{\cos \alpha} \]

\[\cot \alpha = \frac {\text{närliggande}}{\text{motstående}} = \frac{1}{\tan \alpha}\]

Utvidgning av definitionerna

De trigonometriska förhållandena kan ses som funktioner av en vinkel. Det är grafen av dessa funktioner som ritas i de tre interaktiva exemplen ovan. Om vinkeln kallas \(x\), så är funktionerna bara definierade för \(0\lt x \lt 90^\circ\), annars kan \(x\) inte vara en icke-rät vinkel i en rätvinklig triangel. Man kan utvidga definitionerna av de trigonometriska funktionerna så att de är definierade för alla \(x\). Då man gör sådana definitioner, används en enhetscirkel istället för en rätvinklig triangel. Hur en sådan utvidgning går till beskrivs på sidan Trigonometri - Enhetscirkeln.

further info:

Wikipedia - Hipparchus

Wikipedia - Ptolemy's table of chords

Wikipedia - Aryabhata's sine table

EtymologySine.pdf

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se