Musik

Lyssna på sinus

Tonen ettstrukna A (A₄) har frekvensen \(f=440\) Hz, vilket innebär att den har vinkelfrekvensen \(\omega = 440\cdot 2\pi \) rad/s. Vill man spela upp sinusvågor, kan man utgå från den vinkelfrekvensen, ungefär som i arbetsbladet nedan.

Ladda GeoGebra-arbetsblad

Notera att om funktionerna \(f\) och \(g\) har olika frekvenser, så hör man tydligt att vågen \(h\) är sammansatt av två vågor.

Spela musik i GeoGebra

Du kan spela musik i GeoGebra, spela upp toner med olika instrument och spela upp ljudet av en funktion. Funktionen antas vara en funktion av tiden och funktionsvärdena måste ligga mellan -1 och 1.

Om du vill spela ljudet av en sinusfunktion gör du först en glidare \(f\) med verktyget Glidare. Glidaren används för olika värden på frekvensen. Skriv in funktionen sin(f*440*2*pi*x). Funktionen kommer kallas \(g\).

Om du bättre vill kunna se grafen av sinusfunktionen använder du verktyget Flytta ritområde. Sedan drar du i \(x\)-axeln för att skala om koordinatsystemet.

För att spela funktionen \(g\) mellan 0 och 15 sekunder, använder du verktyget Infoga knapp till att göra en knapp. Skriv in

SpelaLjud(g, 0, 15 )

som knappens GeoGebra Script. Välj verktyget Flytta. Testa att klicka på knappen och ändra frekvensen!

För att stänga av det ljud som spelas, använder du kommandot:

SpelaLjud(false)

De olika tonernas frekvenser

En oktav är en frekvensfördubbling. Då frekvensen 440 Hz fördubblas till 880 Hz, går man från tonen ettstrukna A (A₄) till tvåstrukna A (A₅). En oktav är indelad i tolv toner, varav sju kallas stamtoner (C, D, E, F, G, A, B). Stamtonerna motsvarar de vita tangenterna på ett piano. Tonen B betecknas traditionellt med H i Sverige.

De tolv tonernas frekvenser utgör en geometrisk följd. Detta innebär att förhållandet mellan frekvenserna av två på varandra följande toner är konstant. Då man går från frekvensen för en ton till nästa ton, så multiplicerar man med samma faktor för alla toner. Efter 12 sådana multiplikationer, skall man alltså ha åstadkommit en fördubbling. Om faktorn kallas \(a\), kan man bestämma faktorn som nedan:

\[a^{12}=2 \Leftrightarrow a=2^{\frac{1}{12}}\]

Ladda GeoGebra-arbetsblad

Beteckningarna för toner som visas under pilen i appleten ovan kan variera i olika länder.

Övertoner

Anledningen till att olika instrument låter olika då de spelar upp exakt samma ton, är att de inte spelar upp en enda sinusvåg. Ett instrument har i regel ett antal övertoner som varierar mellan olika instrument. En överton har högre frekvens än den ton som spelas.

Om man tänker sig en gitarrsträng, så är det strängens längd (mätt där man håller ner ett finger) som anger vilka frekvenser strängen kan åstadkomma eftersom den är fixerad i två ändar. Detta motsvaras matematiskt av att en halv period kan delas med ett heltal, vilket innebär att vinkelfrekvensen/frekvensen kan multipliceras med ett heltal.

I arbetsbladet nedan kan du lägga till tre övertoner genom att låta deras respektive amplituder öka från noll.

Ladda GeoGebra-arbetsblad