Gör en spirograf

Solen, jorden och månen. Dra i tMax!

På sidan Geometri - Solen, jorden och månen, visas hur man gör en modell av månens bana utan att använda trigonometri. Med hjälp av trigonometri, kan man definiera månens bana som en kurva.

Gör en kurva

Image
En spirograf

I appleten ovan är \(O\) solen, \(A\) jorden, \(B\) månen, \(R\) radien då jorden går runt solen, \(r\) radien då månen går runt jorden, och \(m\) antalet månader på ett år. Glidaren tMax motsvarar tiden. Kurvan som ritas upp, ritas upp mellan tiden noll och den maximala tiden \(tMax\).

Månens bana runt jorden är ett exempel på en epicykel och kurvan som ritas upp av månen är ett exempel på en epitrokoid, en av de mönster som bildas av en spirograf.

Image

Tiden motsvarar den vinkel jorden genomlöper då den går sitt varv runt solen. Månens vinkelhastighet är \(m\) gånger så stor. Ur bilden ovan får man att \(A\) har koordinaterna

\[A=(R \cos\alpha, R \sin\alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)+ r\cos(m \alpha),y(A)+r\sin(m \alpha))\]

Om man väljer att uttrycka \(B\)s koordinater i vinkeln \(\alpha\) blir de

\[B=(R \cos\alpha+ r\cos(m \alpha),R \sin\alpha+r\sin(m \alpha))\]

Kommandot för att göra en kurva med en parameter \(t\) i GeoGebra är

Kurva[x-koordinaten uttryck i t, y-koordinaten uttryckt i t, t, startvärde, slutvärde]

Kommandot för att rita månens bana blir följaktligen

Kurva[R cos(t)+r cos(m t), R sin(t)+r sin(m t), t, 0, tMax]

Epitrokoider

Starta animeringen!

En epitrokoid ritas upp då en liten cirkel rullar runt en stor cirkel på utsidan. Om \(A\) är mittpunkten till den lilla cirkeln, sätter man ner en penna i ett hål \(B\) som ligger på avståndet \(d\) från \(A\).

Image

Om \(A\) rör sig moturs, så rör sig \(B\) medurs. När man börjar rita, är \(B\) placerad till vänster om \(A\).

Låt \(R\) vara den stora cirkelns radie, och \(r\) den lilla cirkelns radie, då har \(A\) koordinaterna

\[A=((R+r)\cos \alpha, (R+r)\sin \alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)-d\cos(m\alpha), y(A)-d\sin(m\alpha))\]

\(m\) är antaler varv som \(B\) dras runt \(A\), då \(A\) dras ett varv runt \(O\). \(m\) kan bestämmas genom att ta förhållandet mellan omkretsen till cirkeln som är \(A\)s bana runt \(O\), och omkretsen till cirkeln som är \(B\)s bana runt \(A\). Eftersom omkretsen är proportionell mot radien, är \(m\) också förhållandet mellan radierna, vilket ger oss att

\[m=\frac{R+r}{r}\]

Hypotrokoider

Starta the animeringen!

En hypotrokoid ritas upp då en liten cirkel rullar runt en stor cirkel på insidan. Om \(A\) är mittpunkten till den lilla cirkeln, sätter man ner en penna i ett hål \(B\) som ligger på avståndet \(d\) från \(A\).

Image

Om \(A\) rör sig moturs, så rör sig \(B\) medurs. När man börjar rita, är \(B\) placerad till höger om \(A\).

Låt \(R\) vara den stora cirkelns radie, och \(r\) den lilla cirkelns radie, då har \(A\) koordinaterna

\[A=((R-r)\cos \alpha, (R-r)\sin \alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)+d\cos(m\alpha), y(A)-d\sin(m\alpha))\]

Med samma resonemang som för epitrokoiden, får vi att

\[m=\frac{R-r}{r}\]

Hypocykloider and epicykloider

När \(d = r\) ritas kurvorna ut av en punkt på den rullande cirkeln. För dessa specialfall kallas kurvorna hypocykloider och epicykloider. För interaktiva exempel på mönster gjorda av rullande hypocyckloider och epicykloider se Rolling Hypocycloids and Epicycloids.

animerad gif:

Hyotrochoid på tumblr.

referens:

bilden på spirografen gjord av Kungfuman

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se