Epitrokoider och hypotrokoider

På sidan Geometri - Solen, jorden och månen, visas hur man gör en modell av månens bana utan att använda trigonometri. Med hjälp av trigonometri, kan man definiera månens bana som en kurva. Denna kurva är ett exempel på en epicykloid vilket är en kurva som är närbesläktad med kurvor som kallas epitrokoidoider.

Epitrokoider och hypotrokoider är kurvor som barn kan rita med en spirograf.

Gör en kurva

Gör en modell av solen, jorden och månden. Låt \(O\) vara solens position, \(A\) jordens och \(B\) månens. Låt \(R\) vara radien då jorden går runt solen, \(r\) radien då månen går runt jorden, och \(m\) antalet månader på ett år.

Lägg in en glidare tMax som motsvara motsvarar tiden. Kurvan som ritas upp, ska ritas upp mellan tiden noll och den maximala tiden \(tMax\).

Tiden motsvarar den vinkel jorden genomlöper då den går sitt varv runt solen. Månens vinkelhastighet är \(m\) gånger så stor. Ur bilden ovan får man att \(A\) har koordinaterna

\[A=(R \cos\alpha, R \sin\alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)+ r\cos(m \alpha),y(A)+r\sin(m \alpha))\]

Om man väljer att uttrycka \(B\)s koordinater i vinkeln \(\alpha\) blir de

\[B=(R \cos\alpha+ r\cos(m \alpha),R \sin\alpha+r\sin(m \alpha))\]

Kommandot för att göra en kurva med en parameter \(t\) i GeoGebra är

Kurva[x(t), y(t), t, startvärde, slutvärde]

Kommandot för att rita månens bana blir följaktligen

Kurva[R cos(t)+r cos(m t), R sin(t)+r sin(m t), t, 0, tMax]

Epitrokoider

Ladda GeoGebra-arbetsblad

En epitrokoid ritas upp då en liten cirkel rullar runt en stor cirkel på utsidan. Om \(A\) är mittpunkten till den lilla cirkeln, sätter man ner en penna i ett hål \(B\) som ligger på avståndet \(d\) från \(A\).

Om \(A\) rör sig moturs, så rör sig \(B\) medurs.

Låt \(R\) vara den stora cirkelns radie, och \(r\) den lilla cirkelns radie, då har \(A\) koordinaterna

\[A=((R+r)\cos \alpha, (R+r)\sin \alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)-d\cos(m\alpha), y(A)-d\sin(m\alpha))\]

\(m\) är antaler varv som \(B\) dras runt \(A\), då \(A\) dras ett varv runt \(O\). \(m\) kan bestämmas genom att ta förhållandet mellan omkretsen till cirkeln som är \(A\)s bana runt \(O\), och omkretsen till cirkeln som är \(B\)s bana runt \(A\). Eftersom omkretsen är proportionell mot radien, är \(m\) också förhållandet mellan radierna, vilket ger oss att

\[m=\frac{R+r}{r}\]

Hypotrokoider

Ladda GeoGebra-arbetsblad

En hypotrokoid ritas upp då en liten cirkel rullar runt en stor cirkel på insidan. Om \(A\) är mittpunkten till den lilla cirkeln, sätter man ner en penna i ett hål \(B\) som ligger på avståndet \(d\) från \(A\).

Om \(A\) rör sig moturs, så rör sig \(B\) medurs.

Låt \(R\) vara den stora cirkelns radie, och \(r\) den lilla cirkelns radie, då har \(A\) koordinaterna

\[A=((R-r)\cos \alpha, (R-r)\sin \alpha)\]

\(B\) har koordinaterna

\[B=(x(A)+d\cos(m\alpha), y(A)-d\sin(m\alpha))\]

Med samma resonemang som för epitrokoiden, får vi att

\[m=\frac{R-r}{r}\]

Hypocykloider and epicykloider

När \(d = r\) ritas kurvorna ut av en punkt på den rullande cirkeln. För dessa specialfall kallas kurvorna hypocykloider och epicykloider. För interaktiva exempel på mönster gjorda av rullande hypocyckloider och epicykloider se Rolling Hypocycloids and Epicycloids.