Sammanfattning - Vinklar

Definitioner

Interaktiv demonstration av några vinkeldefinitioner.
Ändra glidaren för att se olika varianter av likbelägna vinklar och alternatvinklar.
  1. Ett varv har vinkeln 360°.
  2. Två vinklar som ligger bredvid varandra och delar ett vinkelben kallas närliggande vinklar.
  3. Två närliggande vinklar som ligger längs en linje kallas supplementvinklar.
  4. Om två supplementvinklar är lika kallas de räta.
  5. En vinkel som är mindre än en rät vinkel kallas spetsig vinkel.
  6. En vinkel som är större än en rät och mindre än två räta kallas trubbig vinkel.
  7. En linje som skär två andra linjer kallas transversal. Vinklarna är likbelägna vinklar.
  8. Vinklarna är alternatvinklar.
  9. Vinklarna är vertikalvinklar.
  10. Vinkeln är en yttervinkel till triangeln.

Observera att: Nummer 1 är med i listan trots att grader inte nämns i Euklides Elementa.

GeoGebra Uppgifter

Gör en linje a genom punkterna A och B, och en linje b genom punkterna C och D. Markera skärningspunkten E och vinkeln α. Placera en punkt F på linjen b.

Image

Uppgift 1

Gör en vinkel β vid punkten F som är lika stor som α och som blir en alternatvinkel då en ny linje dras. Vad kan du säga om linjen a och den nya linjen?

Uppgift 2

Gör en vinkel β vid punkten F som är lika stor som α och som blir en likbelägen vinkel då en ny linje dras. Vad kan du säga om linjen a och den nya linjen?

Satser

Sats 1 Vertikalvinklar är lika stora

Sats 2 I en triangel är summan av två vinklar alltid mindre än två räta.

Sats 3 Om två linjer skärs av en transversal, och om alternatvinklar är lika stora, så är de två linjerna parallella.

Sats 4 Om två parallella linjer skärs av en transversal, så är alternatvinklar lika stora.

Sats 5 Om två linjer skärs av en transversal, och om likbelägna vinklar är lika stora, så är de två linjerna parallella.

Sats 6 Om två parallella linjer skärs av en transversal, så är likbelägna vinklar lika stora.

Sats 7 - Yttervinkelsatsen En yttervinkel till en triangel är lika med summan av de båda inre motstående vinklarna i triangeln.

Sats 8 Summan av vinklarna i en triangel är två räta.

Sats 9 Omvändningen till satsen om likbent triangel Om två vinklar i en triangel är lika så är triangeln likbent.

Övningar

På sidan Geometri - Kongruenta trianglar nämns de första satserna i Euklides elementa, de satser som nu kan anses vara sanna. Dessa satser är: kongruensfallen SVS, SSS, VSV, samt satsen om vinklar i en likbent triangel.

Övning 1

Bevisa Sats 1

Övning 2

I demonstrationen nedan är D mittpunkt på sträckan AC och på sträckan BE. Så länge triangelns hörn har den moturs orienteringen A, B, C; är summan av α och γ mindre än två räta. Visa att γ=β. Visa sedan Sats 2. Du får bara använda redan bevisade satser.

Demonstration av summan av två vinklar i en triangel.

Övning 3

Bevisa Sats 3. Försök att utföra ett motsatsbevis, dvs antag att det du vill visa inte är sant. Visa sedan att detta antagande leder till en motsägelse. Använd sedan Sats 3 för att visa Sats 4, återigen kan ett motsatsbevis användas.

Övning 4

Använd några av de satser som hittills bevisats för att bevisa Sats 5 och 6.

Övning 5

Bevisa Sats 7 - Yttervinkelsatsen. Använd bilden nedan. Linjen l är parallell med AC.

Image

Övning 6

Bevisa Sats 8.

Övning 7

Bevisa sats 9! Ledning: dra en bisektris vid en av triangelns hörn.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se