Likformiga trianglar

Definition

Två trianglar är likformiga om motsvarande vinklar är lika stora och om förhållandet mellan motsvarande sidor är konstant. Att trianglarna ΔABC och ΔDEF är likformiga skrivs ΔABC∼ΔDEF.

Skillnaden mellan likformiga och kongruenta trianglar är att likformiga trianglar inte behöver vara lika stora. Se Kongruenta trianglar för information om kongruensfallen och satsen om likbenta trianglar. See Sammanfattning - Vinklar för information om vinkelrelationer.

Transversalsatsen

Interaktiv hjälp för att bevisa transversalsatsen.

En transversal är en linje som skär två eller flera linjer.

Sats: En transversal som är parallell med en av sidorna i en triangel, delar de båda övriga sidorna i samma förhållande.

Bevis: Allt du behöver veta för att utföra beviset är att arean av en triangel ges av \[A=\frac{b\cdot h}{2}\]

där b är bredden och h är höjden i triangeln. Jämför tre areor med varandra!

  1. Gör en triangel poly1=ΔAED och en triangel poly2=ΔBED. Låt poly1 och poly2 beteckna trianglarnas areor. Vad är förhållandet mellan poly1 och poly2? Motivera ditt svar!
  2. Gör en triangel poly3=ΔDEC. Vad är förhållandet mellan poly3 och poly1? Motivera ditt svar!
  3. Vad är förhållandet mellan poly3 och poly2? Motivera ditt svar!
  4. Visa att \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)!

Topptriangelsatsen

Interaktiv hjälp för att bevisa topptriangelsatsen.

Som en följdsats till transversalsatsen får man:

Topptriangelsatsen: En transversal som är parallell med en sida i en triangel, avskär en topptriangel som är likformig med den ursprungliga triangeln.

Bevis, Topptriangelsatsen:

Visa först att motsvarande vinklar i de två trianglarna är lika (kongruenta).

Visa sedan att \[\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\]

Drag ännu en parallelltransversal och visa sedan att \[\frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}=\frac{f}{e}\]

Tre fall som ger likformighet

Första likformighetsfallet, sida-vinkel-sida (SVS)Om två sidor i en triangel är proportionella mot två sidor i en annan triangel och om mellanliggande vinklar är lika stora, så är trianglarna likformiga.

Bevis

Image

Placera punkten G så att AG=DE.
Drag GH så att GH blir parallell med BC.

Nu gäller det att ΔAGH∼ΔABC och att ΔDEF∼ΔABC.

Visa att AH=DF!

Då blir ΔAGH≅ΔDEF enligt kongruensfallet sida-vinkel-sida och beviset är klart.

Bevisen för de andra två fallen är snarlika.

Andra likformighetsfallet, sida-sida-sida (SSS) Om de tre sidorna i en triangel är proportionella mot sidorna i en annan triangel så är trianglarna likformiga.

Tredje likformighetsfallet, vinkel-vinkel-vinkel (VV) Om vinklarna i en triangel är lika med motsvarande vinklar i en annan triangel så är trianglarna likformiga.
Observera att det räcker att två vinklar är lika (varför?).

Bisektrissatsen

Linjen genom C är parallell med AB.

Sats: I triangeln \(\Delta ABC\) dras en bisektris vid B. Bisektrisen skär AC vid en punkt D. Enligt bisektrissatsen är:

\[\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}\]

Bevis: Dra en linje parallell med AB genom C. Låt E vara skärningspunkten mellan den nya linjen och bisektrisen. Förklara varför:

  1. \(\angle ABD = \angle CED\)
  2. triangeln \(\Delta BCE\) är en likbent triangel, och således varför \(BC=CE\).
  3. \(\angle BDA = \angle CDE\)
  4. \(\Delta ABD \sim \Delta CED\)
  5. \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CE}{CD}\)
  6. \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{CD}\)

Övningar

Övning 1

AC är parallell med EF. AB är parallell med DF. h, h1, h2 och h3 är de vinkelräta höjderna i respektive triangel. Bevisa det du ser!

Övning 1.

Övning 2

De blå punkterna är mittpunkter på respektive sida. Bevisa det du ser!

Övning 2.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se