Omskrivna och inskrivna cirklar

Konstruktion av Soddy cirklar. Dra i de grå punkterna!

Mittpunktsnormal, bisektris och avstånd

Det finns oändligt många sätt att mäta avståndet mellan en linje och en punkt. För enkelhetens skull menar man alltid det kortaste avståndet, då man talar om avståndet mellan en punkt och en linje. Det kortaste avståndet är det vinkelräta avståndet.

image
Avståndet mellan en punkt och en linje, mellan en punkt på bisektrisen och de två vinkelbenen, mellan en punkt på mittpunktsnormalen och de två punkterna.

För bisektriser och mittpunktsnormaler, gäller följande:

  • En punkt på bisektrisen har samma avstånd till de bägge vinkelbenen.
  • En punkt på mittpunktsnormalen till två punkter har samma avstånd till de två punkterna.

De tre bisektriserna till en triangel skär varandra i samma punkt. De tre mittpunktsnormalerna skär varandra i en annan punkt.

image
Skärningspunkter till bisektriser och mittpunktsnormaler.

Övningar

Den omskrivna cirkeln

image

Gör en triangel.

Givet en triangel kan man alltid konstruera en cirkel så att triangelns hörn ligger på cirkeln, den så kallade omskrivna cirkeln.

Använd en av de två punkter som beskrivs ovan, som cirkelns mittpunkt. Förklara varför konstruktionen stämmer!

Den inskrivna cirkeln

image

Givet en triangel kan man alltid konstruera en cirkel inuti triangeln så att cirkeln tangerar triangelns tre sidor, den så kallade inskrivna cirkeln.

Använd en av de två punkter som beskrivs ovan, som cirkelns mittpunkt. Använd det faktum att den inskrivna cirkeln skall tangera triangelns sidor för att konstruera cirkeln. Förklara varför konstruktionen stämmer!

Tre cirklar

image

Givet tre punkter, som inte ligger på samma linje, kan man alltid konstruera tre cirklar som ömsesidigt tangerar varandra externt. Två cirklar tangerar varandra externt om de har en gemensam tangent, och om de ligger på varsin sida om denna tangent.

Använd konstruktionen för den inskrivna cirkeln för att konstruera de tre cirklarna. Förklara varför konstruktionen stämmer!

Soddy-cirklar

image

Givet tre cirklar som ömsesidigt tangerar varandra, kan man alltid konstruera två cirklar som tangerar vardera av de tre cirklarna. Dessa nya cirklar är så kallade Soddy-cirklar. De är ett specialfall av Apollonius-cirklar.

Gör en triangel och tre cirklar som tangerar varandra

Dra vinkelräta linjer från cirklarnas mittpunkter, linjer som är vinkelräta mot motstående triangelsida. Varje sådan linje skär sin cirkel i två punkter, skapa dessa skärningspunkter. Dessa tre linjer och sex punkter är blå i bilden nedan.

Skapa skärningspunkterna mellan cirklarna, tangeringspunkterna. Varje cirkel har en motstående tangeringspunkt. Dessa punkter är gula i bilden nedan.

image
Tangeringspunkterna är gula. De vinkelräta linjerna och motsvarande skärningspunker är blå.

Varje cirkel har två blå punkter. Drag, för varje cirkel, två linjer mellan vardera blå punkt och motstående tangeringspunkt. Dessa linjer är röda för en av cirklarna i bilden nedan.

De röda linjerna skär sina respektive cirklar i varsin ny punkt. Skapa dessa skärningspunkter. Dessa punkter är röda för en av cirklarna i bilden nedan.

Skapa två sådana linjer och motsvarande skärningspunkter för var och en av de tre cirklarna.

image
De röda linjerna och deras skärningspunkter, visas för en av cirklarna.

Det finns nu sex stycken röda punkter. Använd verktyget Cirkel mellan tre punkter för att skapa Soddy-cirklarna.

image
Soddy-cirklarna konstrueras med hjälp av de röda punkterna.

Eftersom cirklar som tangerar varandra, fortsätter att tangera varandra även efter spegling i en cirkel, kan man göra upprepade cirkelmönster. Det enklaste sättet att göra upprepade cirklar, är att använda kommandot Spegla i kalkylbladet. Ett exempel på cirkelmönster visas i den översta appleten.

Kvadrat inskriven i en triangel

Kvadrat inskriven i en triangel.

Givet en spetsvinklig triangel kan man alltid hitta en kvadrat som har alla fyra hörn belägna på triangelns sidor.

Lös problemet i följande steg:

Hur kan man på ett enkelt sätt lägga in en kvadrat i triangeln så att två av hörnen ligger på triangelns sidor?

Hur kan man på ett enkelt sätt lägga in en kvadrat i triangeln så att tre av hörnen ligger på triangelns sidor?

Hur rör sig det fjärde hörnet då man varierar kvadraten? Hitta mönstret! Vad skall gälla för det fjärde hörnet?

Napoleons sats

Utgå från: En triangel ΔABC.

Konstruera: Tre regelbundna trianglar längs de tre triangelsidorna, regelbundna trianglar som pekar utåt. Markera medelpunkten för de tre regelbundna trianglarna (Medelpunkten är de omskrivna cirklarnas medelpunktpunkt) Gör en ny triangel genom de tre medelpunkterna. Vad kan du säga om den nya triangeln?

 

mer info:

Den inskrivna kvadraten är ett problem som beskrivs i "How to solve it" av George Pólya

Khan Academy: Point Line Distance and Angle Bisectors

Konstruktionen av Apollonius-cirklarna från The Geometry Junkyard: Apollonian circles

Wolfram MathWorld: Soddy Circles

I det generella fallet, behöver inte de tre cirklarna tangera varandra, det är då möjligt att skapa upp till åtta cirklar som tangerar de ursprungliga cirklarna. Se Wolfram MathWorld: Apollonius Circle

Soddy presenterade sin formel som en dikt: The Kiss Precise

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se