Areor
Cirkelns area
π är definierad som förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Låt O beteckna omkretsen, d diametern, och r radien; då får man att: \[\pi = \frac{O}{d}=\frac{O}{2r}\] Detta förhållande är det samma för alla cirklar oavsett hur stora de är.
Eftersom \(O=2r\cdot \pi\), blir halva omkretsen \[\frac{O}{2} = r\cdot \pi\] Detta är längden av den ena rektangelsidan i demon ovan. Den andra rektangelsidan har längden r. Om man delar upp cirkeln i cirkelsektorer och arrangerar om sektorerna, ser man att sektorerna passar bra in i rektangeln. Ju smalare sektorerna är, desto bättre passar de in i rektangeln.
Polygonareor
Arean av en triangel
Det är lätt att se att arean av en rätvinklig triangel kan bestämmas genom att bestämma arean av en rektangel. Detta visas av den gröna triangeln/rektangeln i arbetsbladet ovan. Rektangelns sidor är de samma som de två rätvinkliga sidorna av triangeln. För att bestämma arean av triangeln, bestäm arean av rektangeln och dela med två.
Om alla vinklarna i triangeln är spetsiga (mindre är 90°), kan man göra en rektangel som den röda triangeln/rektangeln ovan. I detta fall, är en av rektangelns sidor samma som en av triangelns sidor. Den andra rektangelsidan är den vinkelräta höjden av triangeln. För att bestämma arean av triangeln, kan man återigen, bestämma arean av rektangeln och dela med två. Om beteckningarna i arbetsbladet ovan används, får man att den röda triangelns area A ges av \(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\).
Om en av vinklarna i triangeln är trubbig (större än 90°), är arean av triangeln hälften av arean av en parallellogram. För att bestämma triangelns area, bestäm parallellogrammens area och dela med två.
Arean av en parallellogram
Man kan välja vilken sida som helst som bas och sedan dra den vinkelräta höjden, vilket visas nedan.
En parallellogram kan alltid göras om till en rektangel genom att man delar den i bitar och flyttar om. Den rektangel som uppstår har en sida som är samma som en av sidorna i parallelogramet, basen. Höjden i rektangeln fås om man drar en vinkelrät höjd i parallellogrammet.
I arbetsbladet ovan ges den stora rektangelns area A av \(A=(b+x)\cdot h=b\cdot h+x\cdot h\). Parallellogrammens area ges av uttrycket \(b\cdot h\).
Arean av ett parallelltrapets
Om man har ett parallelltrapets kan man alltid placera den i en parallellogram, som i arbetsbladet ovan.
Om de parallella sidorna i parallelltrapetset kallas för a och b, och om den vinkelräta höjden kallas för h, så kommer parallellogrammen att få en sida med längden \(a+b\) och höjden h. Parallellogrammens area blir därför: \((a+b)\cdot h\).
Parallelltrapetsens area A är hälften av parallellogrammens area, denna area blir därför: \[A=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\left( \frac{a+b}{2}\right)\cdot h \]
Sammanfattning
När det gäller triangel och parallellogram, spelar det ingen roll vilken sida som väljs som bas. Kryssa för Swap-rutan för att se hur det ser ut om en annan sida valts som bas. Notera att höjden mycket väl kan dras till en punkt utanför polygonen.
Vill man beräkna arean av en generell polygon, delar man först in den i trianglar.
animerad gif:
Area of a circle på tumblr
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License