Vinklar
Detta är en informell genomgång av vinkelrelationer. En mer formell genomgång ges på nästa sida: Sammanfattning - Vinklar.
Gå och vänd (sköldpaddsprogrammering i Scratch)
Sköldpaddsprogrammering bygger på att man programmerar en sköldpadda genom att ge kommandon som "gå" och "vänd". Genom att "gå" och "vända" kan man skapa intrikata mönster. Några enklare mönster visas nedan.
Det mönster som skapas om man successivt ökar vinkeln, är en så kallad Euler spiral (eller Cornu spiral).
Genom att "gå" och "vända" kan man ge en enkel introduktion till begreppet vinkel.
Katten går några steg och vänder sig någon vinkel.
Klicka på "increase step" för att successivt öka steget!
Klicka på "increase angle" för att successivt öka vinkeln!
Regelbundna polygoner och yttervinklar
Vinklar kan användas till att mäta rotationer. En enhet för att mäta vinklar är grader (det finns också andra enheter). Grader betecknas med °. Om du roterar ett varv, är vinkeln du roterat 360°. Ett halvt varv är 180°, en fjärdedels varv 90°, och så vidare.
En regelbunden polygon är en n-hörning för vilken alla sidor är lika långa och alla vinklar är lika.
Scratch-uppgift 1
Vilka tal skall du skriva på de tomma ställena (i bilden till höger) om du vill rita en kvadrat?
Efter att kvadraten ritats upp, är sprajten tillbaka där den startade och pekar i samma riktning som från början.
Vilka tal skall du skriva på de tomma ställena om du vill rita en regelbunden triangel? Sprajten skall sluta där den startade och peka i samma riktning som från början.
Vilka tal skall du skriva på de tomma ställena om du vill rita en regelbunden femhörning (en pentagon)?
Vilken vinkel, uttryckt i n, skall du använda om sprajten skall rita en regelbunden n-hörning?
Scratch-uppgift 2
Skapa ett block som ritar upp en n-hörning! Lägg till ett siffervärde n under Alternativ. Parametern n kan läggas in överallt där man kan skriva ett tal till ett block.
Fyll i de tomma ställena i definitionen av blocket. Använd en operator för att beräkna rätt vinkel uttryckt i n!
Prova blocket du just gjort med olika värden på n.
Yttervinklar och innervinklar
När du gjorde Scratch-uppgifterna, vände sig sprajten en vinkel som kallas yttervinkel till en polygon. För en regelbunden polygon är summan av yttervinklarna 360°. Hur kan du veta att summan alltid är 360° med tanke på hur du gjorde Scratch-uppgifterna?
Summan av yttervinklarna till en polygon är alltid 360°, även om polygonen inte är regelbunden.
Om alla innervinklar är mindre än 180°, är polygonen en konvex polygon. Om en innervinkel är större än 180°, är motsvarande yttervinkel negativ. Negativa yttervinklar visas som vita i arbetsbladet ovan. Summan av innervinkeln och yttervinkeln vid ett hörn, är alltid 180°.
Vinkelrelationer
Ofta när man håller på med geometri, är den exakta storleken av en vinkel inte intressant. Istället kan det vara intressant att veta hur två vinklar förhåller sig till varandra. Är vinklarna lika stora? Är den ena vinkeln större än eller mindre än den andra?
Vertikalvinklar
Övning 1 - Vertikalvinklar
Den röda och blå vinkeln i arbetsbladet ovan kallas vertikalvinklar. Visa att vertikalvinklar alltid är lika (kongruenta). Arbetsbladet ger ett tips om hur beviset skall gå till.
Likbelägna vinklar
En linje som korsar två andra linjer kallas transversal. I arbetsbladet ovan är den gula linjen en transversal. Dra i krysset för att flytta den gröna vinkeln. Eftersom de grå linjerna är parallella, är förflyttningen en parallellförflyttning. Den gröna och blå vinkeln är därför lika (kongruenta). Detta gäller alltid för likbelägna vinklar om de två linjerna är parallella. Flytta de röda punkterna för att se hur likbelägna vinklar kan vara placerade.
I det allmänna fallet behöver inte de två linjerna vara parallella. Om vinklarna är placerade som i arbetsbladet ovan, kallas de fortfarande likbelägna, de är dock inte lika om linjerna inte är parallella. Se Sammanfattning - Vinklar för mer information.
Alternatvinklar
Övning 2 - Alternatvinklar
Vinklarna i arbetsbladet ovan kallas alternatvinklar. Använd relationerna mellan vertikalvinklar samt likbelägna vinklar vid parallella linjer för att visa att alternatvinklar vid parallella linjer alltid är lika (kongruenta).
Övning 3 - Triangelns vinkelsumma
Använd några av de tre vinkelrelationerna och konstruktionen nedan för att visa att summan av de innervinklarna i en triangel alltid är 180°!
Triangelns vinkelsumma
Övning 4 - Summan av de inre vinkarna för olika polygoner
- Om du har en fyrhörning kan du alltid dela in den i två trianglar - visa hur! Vilken vinkelsumma har de inre vinklarna i en fyrhörning?
- Om du har en femhörning kan du alltid dela in den i tre trianglar - visa hur! Vilken vinkelsumma har de inre vinklarna i en femhörning?
- Vilken vinkelsumma har de inre vinklarna i en polygon med n hörn? Formulera svaret som ett uttryck innehållande n och förklara varför uttrycket stämmer.
Yttervinklar till en triangel
Yttervinkelsatsen
En yttervinkel till en triangel är lika med summan av de två motstående inre vinklarna.
I arbetsbladet ovan är den röda vinkeln en yttervinkel. Yttervinkelsatsen ger att den röda vinkeln är lika med summan av den blå och den gröna vinkeln.
Övning 5 - Yttervinkelsatsen
- Visa satsen genom att använda den parallella linjen i arbetsbladet samt några av de tre vinkelrelationerna.
- Visa satsen genom att använda vinkelsumman av en triangel.
mer info:
Proof that the angles of a triangle sum to 360° från Uncyclopedia
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License