Linjära funktioner

Lutning

image image

Den tioprocentiga lutningen i vägskyltarna ovan betyder att om man förflyttas 100 m i horisontell led, så förflyttas man i genomsnitt 10 m i vertikal led.

image

För att få fram procenttalet, tar man förflyttningen i y-led och delar med förflyttningen i x-led, \(\frac{10}{100}=0.1=10\)%.

Skyltarna förutsätter att man kör från vänster till höger, och att man på så vis kan lista ut huruvida lutningen är uppåt eller nedåt.

När man definierar lutning inom matematiken, gör man det på motsvarande vis. Man definierar lutningen som skillnaden i y-led delat med skillnaden i x-led. För att skilja på lutningar uppåt eller nedåt, säger man att skillnaden i y-led är negativ, om lutningen går "nedåt" då man går från vänster till höger.

image

Istället för ordet "skillnaden", använder man beteckningar med hjälp at \(\Delta \). Skillnaden i y-led betecknas \(\Delta y\) och skillnaden i x-led med \(\Delta x\). Om man låter \(k\) beteckna lutningen, får man definitionen: \[k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]


Övningar

Övning 1 - Lutning enligt definition

Starta ett nytt GeoGebra-ark. Högerklicka på ritytan och markera Axlar och Rutnät.

Välj Inställningar->Punktstyrning->På (rutnät).

Använd verktyget Linje genom två punkter icon för att göra fyra linjer genom punkterna:

  1. (-1,1) och (3,4)
  2. (0,-1) och (4,-1)
  3. (2,-2) och (-2,2)
  4. (1,1) och (1,4)

Bestäm linjernas lutning med hjälp av definitionen \(k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) och skriv ned dina svar!

Övning 2 - Lutningen med hjälp av verktyget

Använd verktyget Lutning icon på de fyra linjerna. Klicka på verktyget och sedan på en linje.

Jämför GeoGebra-lutningarna med dina svar.

Kommentar

GeoGebra-sättet att visa lutningen kan ses som en alternativ definition av lutning:

Om förändringen längs x-axeln (då man går från vänster till höger) är 1,
så är ändringen längs y-axeln lutningen.

 

Slope

 

Övning 3

Starta ett nytt GeoGebra ark. Se till att inmatningsfältet visas; om inte, välj Visa->Inmatningsfält.

Skriv in följande tre funktioner i inmatningsfältet (en i taget):

  • \(y=x\)
  • \(y=x+2\)
  • \(y=x-1\)

Besvara följande frågor om funktionen \(y=x+4\) utan att plotta grafen.

  1. Vad är lutningen?
  2. Vid vilket y-värde skär grafen y-axeln?
  3. Vid vilket x-värde skär grafen x-axeln?

Övning 4

Ta bort de tre funktionerna och skriv istället in följande funktioner:

  • \(y=-2x\)
  • \(y=-2x+3\)
  • \(y=-2x-2\)

Besvara följande frågor om funktionen \(y=-2x+1\) utan att plotta grafen.

  1. Vad är lutningen?
  2. Vid vilket y-värde skär grafen y-axeln?
  3. Vid vilket x-värde skär grafen x-axeln?

Övning 5

image

Ta bort de tre funktionerna och skriv in linjen \(y=2x\).

Ekvation visas i algebrafönstret och linjen visas i ritytan.

Använd musen för att dra i linjen och betrakta hur ekvationen ändras i algebrafönstret. Det andra talet i uttrycker ändras då man flyttar linjen. Beskriv hur man kan bestämma det andra talet genom att betrakta linjen i ritområdet!

Övning 6

Besvara följande frågor om linjen \(y=3x-2\) utan att rita linjen.

  1. Vad är lutningen?
  2. Vid vilket y-värde skär linjen y-axeln?

Kommentar

GeoGebra skiljer på begreppen funktion och ekvation. Funktioner skrivs så här: \(f(x), f1(x), g(x), MalinsFunction(x),..\). Ekvationer skrivs med hjälp av variablerna \(x\) och \(y\). Varje ekvation får ett unikt namn men alla ekvationer använder namnen \(x\) och \(y\) för att beteckna variablerna.

image

En ekvation kan användas till att definiera en linje så här:

Bara de punkter vars koordinater uppfyller ekvationen
(gör likheten sann),
ligger på linjen

En längre förklaring ges på nästa sida.

Riktningskoefficienterna för vinkelräta linjer

  • Gör en linje genom punkterna A och B.
  • Gör en linje vinkelrät mot den första linjen genom punkten A.
  • Använd verktyget Icon Lutning på bägge linjerna.
  • Döp om riktningskoefficienterna till m1 och m2.
Image
  • Gör en ny variabel som i bilden nedan. Rör på punkterna!
Image
  • Dra en slutsats! Bevisa din slutsats!

Tips: Betrakta bilden och använd likformiga trianglar.

referens:

bilderna på vägskyltarna från: http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Slope_signs

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se