Kvadratkomplettering

Andragradsekvationen ovan, vilken löses genom att jämföra areor, är inte en generell andragradsekvation. Om man vill tolka siffrorna som längder, får de inte vara negativa. Man kan göra en liknande geometrisk konstuktion för att lösa ekvationen \(x^2-bx=a\), man får då att \((x-b/2)^2=a+(b/2)^2\).

Med geometriska tolkningar av problemet, får \(a\) inte lov att vara negativ och lösningarna till ekvationen är icke-negativa \(x\)-värden. För att bestämma alla rötter i det allmänna fallet, är det bättre att använda en

Algebraisk metod

\[ax^2+bx+c=0 \Leftrightarrow ax^2+bx=-c \Leftrightarrow x^2+\frac{b}{a}=-\frac{c}{a}\]

Vi kan anta att \(a\neq 0\), annars vore det en förstagradsekvation.

För att kunna skriva vänsterledet som en kvadrat, adderar man \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) till bägge sidorna av ekvationen

\[x^2+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \Leftrightarrow \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}\]

Högerledet blir efter omskrivning

\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

Om högerledet är icke-negativt, kan ekvationen lösas med hjälp av kvadratrötter. Om högerledet är negativt, används komplexa tal för att bestämma rötterna.

Den första att hitta en metod för att lösa andragradsekvationer var

Brahmagupta

som också gjorde ett av de största bidragen till mänskligheten genom historien!