Normalfördelning
Man kan approximera en diskret fördelning med en kontinuerlig funktion. En sådan approximerande funktion är normalfördelningens täthetsfunktion. Grafen till normalfördelningens täthetsfunktion är en helt symmetrisk klockformad kurva vars utseende bara beror på två variabler, medelvärdet och standardavvikelsen.
Om \(\mu\) är medelvärdet och \(\sigma\) standardavvikelsen, så är normalfördelningens täthetsfunktion:
\[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left( - \dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \]
Fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen \(\phi\), har medelvärdet \(\mu =0\) och standardavvikelsen \(\sigma=1\).
\[\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{1}{2}x^2} \]
Att en variabel \(X\) är normalfördelad med medelvärdet \(\mu\) och standardavvikelsen \(\sigma\), betecknas \(X\ \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\). En variabel som är fördelad enligt den standardiserade normalfördelningen betecknas \(Z\). Sambandet mellan \(Z\) och \(X\) är
Sannolikheten ges av arean under kurvan. Den totala arean är därför alltid ett. Om sannolikheten för en normalfördelad variabel \(X\) betecknas \(P\), får man att
\[P(a\lt X \lt b)=\int_a^bf(x)dx\]
Normalfördelning i GeoGebra
Med verktyget "Probability Calculator"
,
kan man beräkna sannolikheten mellan valfria gränser för en mängd fördelningsfunktioner.
Det omvända normalfördelnings-problemet
Om man känner till medelvärdet och standardavvikelsen, så kan man beräkna sannolikheten för givna gränser med "Probability Calculator".
Det omvända problemet är att man känner till sannolikheten för givna gränser och vill beräkna medelvärdet och standardavvikelsen. Eftersom det är två okända som skall bestämmas, krävs det att man känner till två sannolikheter.Problemet löses genom att man gör en jämförelse med den standardiserade normalfördelningen.
Antag att man vet att \(P(X\lt 4)=0.4\) och att \(P(X\lt 3)=0.2\). Gränserna 4 och 3, kan jämföras med motsvarande gränser för den standardiserade normalfördelningen. Sambandet mellan dessa gränser ges av \(z=\frac{x-\mu}{\sigma}\), där \(z\) är gränsen för den standardiserade normalfördelningen, och \(x\) är gränsen för den okända normalfördelningen.
För att bestämma de gränser som motsvaras av gränserna 4 och 3, kan man använda GeoGebra. Det gäller att bestämma \(z_1\) ur sambandet \(P(Z\lt z_1)=0.4\) och \(z_2\) ur sambandet \(P(Z\lt z_2)=0.2\).
Skriv in 0.4 i rutan som visas i bilden nedan och tryck enter. Man får att \(z_1=-0.2533\).
På motsvarande sätt får man att \(z_2=-0.8416\). För att bestämma \(\mu\) och \(\sigma\), löser man ekvationssystemet:
\[\left\{ \begin{align*} -0.2533&=&\frac{4-\mu}{\sigma} \\ -0.8416&=&\frac{3-\mu}{\sigma} \end{align*} \right. \]
En grafisk lösning visas nedan.
Lösningen är \(\mu=4.4306\) och \(\sigma=1.6998\). Lösningen kan kontrolleras i "Probability Calculator".
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License
