Binomialfördelning

Dra i glidarna!

Om ett försök bara kan ha två utfall kan man kalla det ena utfallet för att försöket "lyckades" och det andra för att det "misslyckades". Om sannolikheten för att det lyckas är \(p\) så är sannolikheten för ett misslyckande \(1-p\). Om vi upprepar försöket \(n\) gånger så är sannolikheten för att försöket lyckas exakt \(k\) gånger

\[P\;(X=x)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

där \(X\) är en binomialfördelad slumpvariabel. Vi använder beteckningen: \(X\sim B(n,p)\)

Väntevärde och varians för binomialfördelningen

Väntevärdet av ett försök ges av \(\mu = 1\cdot p+0\cdot (1-p)=p\). Väntevärdet av \(n\) oberoende försök blir därför \(\mu = np\).

Variansen av ett försök ges av

\[\sigma^2=(1-\mu)^2\cdot p + (0-\mu)^2\cdot (1-p)= (1-p)^2\cdot p + p^2\cdot (1-p)=p\cdot (1-p) \]

Variansen av \(n\) oberoende försök blir därför \(\sigma^2=np(1-p)\).

\[\mu = np \hspace{1cm} \sigma^2=np(1-p) \]

Binomialfördelning i GeoGebra

Med hjälp av verktyget "Probability Calculator" Icon, kan man bestämma alla sannolikheter för en binomialfördelning.

Image

Binomial- och normalfördelning

Om man använder binomialfördelningens väntevärde \(\mu = np\) och varians \(\sigma^2=np(1-p)\), som parametrar i normalfördelningsfunktionen

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left( - \dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)} \]

får man en kontinuerlig approximation av binomialfördelningen. Då \(n\) är stort och \(p\) ej ligger för nära 0 eller 1, är normalfördelningen en mycket bra approximation av binomialfördelningen.

Dra i glidarna!

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se