Derivatans definition

Derivatan i en punkt

Derivatan av en funktion \(f(x)\) i en punkt \( (a, f(a))\) skrivs som \(f'(a)\) och definieras som ett gränsvärde.

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(h)}{h}\]

Värdet av

\[\frac{f(a+h)-f(h)}{h}\]

är lutningen till linjen genom punkterna \( (a, f(a))\) och \( (a+h, f(a+h))\), den så kallade sekantlinjen.

Observera att \(\Delta x = a+h-a=h\) och \(\Delta y = f(a+h)-f(a)\). Sekantlinjernas gränsvärde då \(h\) går mot noll är tangenten. Derivatan är tangentens lutning då tangenten går genom punkten där \(x=a\). Att bestämma derivatan kallas för att derivera.

Flytta den röda punkten! Ändra h!

Var på grafen är derivatan: positiv, negativ, noll? Spelar det någon roll om man närmar sig från höger eller vänster, om h är positiv eller negativ?

Om man tar absolutbeloppet av funktionen ovan får man grafen nedan.

Flytta den röda punkten! Ändra h!

I grafen ovan: finns det punkter som gör det svårt att definiera derivatan?

Derivatan som funktion

Man kan utvidga definitionen av derivatan i en punkt till att gälla alla punkter (alla punkter där derivatan är definierad, dvs där gränsvärdet existerar). En sådan utvidgning av definitionen innebär att man definierar en ny funktion som skrivs \(f'(x)\).

\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Man kan i vissa fall bestämma en formel för derivatan genom att använda definitionen ovan. Sådana formler finns för alla standardfunktioner.

Om man använder en dator kan man numeriskt approximera derivatan i alla punkter till en graf.

Linjen i konstruktionen nedan är tangenten till grafen i punkten A. Lutningen till tangenten är punkten Ps y-värde. Dra punkten A för att se spåret till P, detta spår är grafen till derivatans funktion.

Dra i den röda punkten för att se grafen till f'(x)!

Prova att ändra konstanttermen i funktionens definition så att grafen flyttas två enheter uppåt, dvs:

\[f(x)=-0.5x^3+x^2+2x+1\]

Lägg märke till att P ritar ut samma bana. Det finns oändligt många funktioner som har samma derivata. Dessa funktioner skiljer åt genom en konstant men deras grafer har alla "samma form".

Ett annat sätt att skriva det på

Om man istället använder \(y\) för att beteckna en funktion av variabeln \(x\), \(y=f(x)\). Så använder man beteckningen \(\frac{dy}{dx}\) för att beteckna derivatan. Beteckningen kommer från definitionen

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

mer info:

Wikipedia: Leibniz's notation

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se