Derivatans definition

Derivatan i en punkt

Derivatan \(f'(x)\) av en funktion \(f(x)\) i en punkt \( (a, f(a))\) definieras så här

\[f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(h)}{h}\]

Värdet av

\[\frac{f(a+h)-f(h)}{h}\]

är lutningen till linjen genom punkterna \( (a, f(a))\) och \( (a+h, f(a+h))\), den så kallade sekantlinjen.

Observera att \(\Delta x = a+h-a=h\) och \(\Delta y = f(a+h)-f(a)\). Sekantlinjernas gränsvärde då \(h\) går mot noll är tangenten. Derivatan är tangentens lutning då tangenten går genom punkten där \(x=a\). Att bestämma derivatan kallas för att derivera.

Flytta den röda punkten! Ändra h!

Hur ser grafen ut då derivatan är positiv, negativ, noll?

Om man tar absolutbeloppet av funktionen ovan får man grafen nedan.

Flytta den röda punkten! Ändra h!

Nämn något intressant om derivatan av ovanstående funktion!

Derivatan som funktion

Man kan utvidga definitionen av derivatan i en punkt till att gälla alla punkter (alla punkter där derivatan är definierad, dvs där gränsvärdet existerar). En sådan utvidgning av definitionen innebär att man definierar en ny funktion:

\[f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

Man kan hitta en formel för derivatan genom att använda definitionen ovan.

Om man använder en dator kan man numeriskt approximera derivatan i alla punkter till en graf.

Linjen i konstruktionen nedan är tangenten till grafen i punkten A. Lutningen till tangenten är punkten Ps y-värde. Dra punkten A för att se spåret till P, detta spår är grafen till derivatans funktion.

Glidarna är koefficienter till polynomet. Flytta den röda punkten!

Observera att punkten P inte rör sig då man drar i glidaren e, det finns således oändligt många funktioner som har samma derivata, dessa funktioner skiljer åt genom en konstant men deras grafer har alla "samma form".

Ett annat sätt att skriva det på

Om man istället använder \(y\) för att beteckna en funktion av variabeln \(x\), \(y=f(x)\). Så använder man beteckningen \(\frac{dy}{dx}\) för att beteckna derivatan. Beteckningen kommer från definitionen

\[\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se