Fixpunkter

En generell rekursiv ekvation kan skrivas så här

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= f(a_n),n\geq0 \end{align*} \right. \]

Om an har ett gränsvärde då \(n\rightarrow \infty\) , och om man applicerar funktionen f på detta gränsvärde så kommer resultatet att bli samma tal igen. Gränsvärdet kallas fixpunkt. Om vi kallar fixpunkten för x0, så är denna likhet sann:

\[f(x_0)=x_0\]

Man bestämmer fixpunkter till en rekursiv ekvation genom att lösa ekvationen \(f(x)=x\).

Då man itererar den rekursiva ekvationen applicerar man samma funktion på sig själv om och om igen.

\[x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\ldots \]

Om den rekursiva ekvationen är

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= 1+\frac{1}{a_n},n\geq0 \end{align*} \right. \]

så blir funktionen av funktionen av..., ett kedjebråk

\[1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}}\]

Om den rekursiva ekvationen är

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= \sqrt{1+a_n},n\geq0 \end{align*} \right. \]

så blir funktionen av funktionen av..., ett kedjerotuttryck

\[\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}\]


Övningar

  1. Bestäm fixpunkterna till kedjebråket ovan
  2. Bestäm fixpunkterna till kedjerotuttrycket ovan

Attraherande eller repellerande fixpunkter

En fixpunkt kan vara attraherande eller repellerande.

Dämpad pendel

En dämpad pendel har två fixpunkter. Den ena är när pendeln pekar nedåt med vinkeln 0; den andra är när pendeln pekar uppåt med vinkeln π. I teorin (om man bortser från Heisenbergs osäkerhetsrelation) kommer en pendel som har vinkeln π som utgångsläge att förbli vid denna vinkel, detta är en repellerande fixpunkt. Om pendeln rör sig aldrig så lite åt något håll, kommer den emellertid så småningom att hamna vid vinkeln 0, som är en attraherande fixpunkt.

Ändra farten ellen vinkeln. Flytta på den röda punkten.

I Scratch-modellen nedan, ritar nyckelpigan ut ett fasdiagram. Nyckelpigans y-koordinat ges av vinkelhastigheten, x-koordinaten ges av vinkeln.

Klicka var som helst för att starta pendeln.
Klicka c för att sudda det nyckelpigan ritat ut.
Ändra reglagen och klicka på den gröna flaggan för att starta pendeln igen.

Repellerande fixpunkter

Om fixpunkterna är irrationella tal kommer man aldrig att hitta dem genom att iterera en rekursiv ekvation. Även om man startar med den repellerande fixpunkten kommer värdena att avlägsna sig från denna då man itererar. Oavsett hur många korrekta decimaler en elektronisk apparat kan räkna med, kan den ändå aldrig räkna med oändligt många korrekta decimaler; det kommer alltid att finnas en avvikelse från det exakta värdet. För att hitta repellerande fixpunkter krävs det en annan metod.

För en rekursiv ekvation

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= f(a_n),n\geq0 \end{align*} \right. \]

kan man lösa ekvationen

\[f(x)=x\]

Fixpunkterna är skärningspunkterna mellan linjen och funktionens graf.

image

Man kan använda en bild för att göra ett spindelvävsdiagram Ett spindelvävsdiagram visar huruvida en fixpunkt är repellerande eller attraherande.

mer info:

Continued fractions (kedjebråk)

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se