Arean under en graf

Demo av trappstegsfunktion.

Sträcka och fart

Om man förflyttar sig med en konstant fart under ett tidsintervall \(\Delta t\), så gäller följande samband för den sträcka man förflyttat sig \(\Delta s\) och farten \(v\):

\[v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \hspace{0.5 cm} \text{och} \hspace{0.5 cm} \Delta s = v\cdot \Delta t\]

Grafiskt får man farten genom att ta lutningen av sträckan i s-t-diagrammer. Den sträcka man förflyttat sig kan beräknas genom att man beräknar arean under den konstanta funktionen i v-t-diagrammet.

Ändra antalet intervall!

Om man delar in tiden i kortare tidsintervall, och antar att man håller en konstant fart inom varje intervall; så får man fram farten genom att betrakta lutningen i ett givet intervall i s-t-diagrammet, och den sammanlagde sträckan genom att addera areorna i v-t-diagrammet.

Om man låter antalet intervall gå mot oändligheten så gäller att det att \(\Delta t \rightarrow 0\). Man kan nu bestämma hastigheten vid en given tidpunkt genom att derivera.

\[v=\frac{ds}{dt}\]

v-t-diagrammet blir nu grafen till derivatans funktion \(v\). Om funktionen \(v\) är given, bestämmer man den sträckan som man förflyttat sig mellan tidpunkterna \(a\) och \(b\) genom att integrera.

\[ \int_a^b \! v \, dt=s(b)-s(a)\]

Grafiskt bestämmer man sträckan genom att beräkna arean under grafen till \(v\) mellan tidpunkterna \(a\) och \(b\).

Approximera arean

Ändra antalet intervall!

För att approximera arean under grafen till en funktion mellan \(x=a\) och \(x=b\), kan man dela intervallet \([a,b]\) i ett antal mindre intervall. I varje sådant mindre intervall, kan man approximera arean med en rektangel. Eftersom funktionsvärdet kan variera inom ett intervall, brukar man göra två sorters trappstegsfunktioner, en där man hela tiden väljer det maximala funktionsvärdet och en där man väljer det minimala. Därefter adderar man ihop rektanglarna i en så kallad översumma och en så kallad undersumma. Om översumman och undersumman har samma gränsvärde då antalet intervall går mot oändligheten, så är detta arean under grafen. I sådana fall sägs funktionen vara Riemann-integrerbar.

Notera att funktionen måste vara definierad på intervallet \([a,b]\).

En funktion måste inte vara kontinuerlig för att vara Riemann-integrerbar, exemplevis är en trappstegsfunktion definierad på ett interval Riemann-integrerbar.

Samband med primitiv funktion

Image

Arean av trappstegsfunktionen ovan är

\[A=f(x_0)\cdot \Delta x + f(x_1)\cdot \Delta x + f(x_2)\cdot \Delta x + f(x_3)\cdot \Delta x + f(x_4)\cdot \Delta x \]

Låt \(F(x)\) vara en primitiv funktion till \(f(x)\), dvs en funktion sådan att \(F'(x)=f(x)\). Om \(\Delta x\) är "litet", kan vi göra följande approximation

\[f(x_i)\approx \frac{F(x_{i+1})-F(x_i)}{\Delta x} \text{ for } i=0,1,2,3,4\]

Detta ger oss följande approximation för arean

\[A\approx \frac{F(x_1)-F(x_0)}{\Delta x}\cdot \Delta x + \frac{F(x_2)-F(x_1)}{\Delta x}\cdot \Delta x + \frac{F(x_3)-F(x_2)}{\Delta x}\cdot \Delta x + \frac{F(x_4)-F(x_3)}{\Delta x}\cdot \Delta x + \frac{F(x_5)-F(x_4)}{\Delta x}\cdot \Delta x \]

Förkorta bort alla \(\Delta x\)

\[ A\approx F(x_1)-F(x_0) + F(x_2)-F(x_1) + F(x_3)-F(x_2) + F(x_4)-F(x_3) + F(x_5)-F(x_4)=F(x_5)-F(x_0)\]

Låt antalet intervall gå mot oändligheten, då gäller att \(\Delta x \rightarrow 0\). Om intervallets ändpunkter heter \(a\) och \(b\), får vi att

\[A=F(b)-F(a)\]

Ett annat sätt att förklara sambandet mellan primitiv funktion och area ges på nästa sida.


Övning

Låt \(f(x)\) och \(g(x)\) vara definierade på intervallet \([0,1]\). Låt

\[ f(x) = \left \{ \begin{align*} 1&\text{ då } x=0.6 \\ 0&\text{ annars} \end{align*} \right. \]

och låt

\[ g(x) = \left \{ \begin{align*} 1&\text{ då } x \text{ är ett rationellt tal} \\ 0&\text{ annars} \end{align*} \right. \]

Förklara varför \(f(x)\) är Riemann-integrerbar och bestäm arean under grafen på intervallet \([0,1]\).

Förklara varför \(g(x)\) inte är Riemann-integrerbar.


Analysens huvudsats

Den primitiva funktionen \(F(x)\) till en funktion \(f(x)\), har egenskapen att \(F'(x)=f(x)\). Om en funktion \(f(x)\) har en primitiv funktion \(F(x)\) och om \(C\) är en konstant, så är även \(F(x)+ C\) en primitiv funktion. Eftersom konstanten \(C\) kan väljas på oändligt många olika sätt, kan vi dra slutsatsen att om det finns en primitiv funktion, så finns det oändligt många primitiva funktioner. I bilden nedan visas graferna till några primitiva funktioner till funktionen \(f(x)=2x\).

Image

Låt \(f(x)\) vara en funktion och låt \(a\) vara ett tal. Vi kan definiera en funktion \(A(x)\) som arean under grafen till \(f(x)\) på intervallet \([a,x]\). För att visa att \(A(x)\) är en primitiv funktion till \(f(x)\), måste vi visa att derivatan \(A'(x)=f(x)\). Med andra ord måste vi visa att

\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{A(x+h)-A(x)}{h}=f(x)\]

Ändra step-glidaren!

Eftersom alla primitiva funktioner till en given funktion bara skiljer sig med åt med en konstant, kan man använda vilken primitiv funktion som helst för att beräkna arean under \(f(x)\) i ett intervall \([a,b]\). Låt \(F(x)\) vara en primitiv funktion till \(f(x)\), då är \(F(x)=A(x)+C\) för någon konstant C. Då är

\[\int_a^b \! f(x) \, dx = F(b)-F(a)=A(b)+C-(A(a)+C)=A(b)-A(a)=A(b)-0=A(b)\]

Relationen ovan är en variant av analysens huvudsats. För en formell genomgång, se Wikipedia - Fundamental Theorem of Calculus.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se