Cirklar och vinklar

Några ord

En korda är en sträcka som ligger mellan två punkter på cirkeln.

En sekant är en linje som skär cirkeln i två punkter.

Randvinkeln är en vinkel mellan två kordor som har en gemensam ändpunkt. De andra ändpunkterna definierar en cirkelbåge.

Medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är den vinkel som har sin spets i cirkelns medelpunkt och vinkelbenen genom cirkelbågens ändpunkter.

I bilden till vänster är randvinkeln till den röda cirkelbågen vinkeln \(\angle ACB\), och medelpunktsvinkeln är vinkeln \(\angle AMB\).

GeoGebra övningar

Randvinkel och medelpunktsvinkeln

Vilket samband finns det mellan medelpunktsvinkeln och en randvinkel till en given cirkelbåge?

Dra en slutsats och skriv ned den. Det måste framgå tydligt från din konstruktion att din slutsats är rimlig. Spara konstruktionen.

Randvinklar

Vad kan du säga om randvinklar som utgår från samma cirkelbåge? Kan du lista ut det utan att göra en konstruktion?

Dra en slutsats och skriv ned den. Visa att din slutsats är rimlig antingen genom att hänvisa till en konstruktion eller med hjälp av ett resonemang (eller både och).

Motsatta vinklar i en fyrhörning på en cirkel

Gör en cirkel och placera fyra punkter på den. Gör en fyrhörning genom punkterna. Vad gäller för motsatta vinklar på fyrhörningen?

Dra en slutsats och skriv ned den. Det måste framgå tydligt från din konstruktion att din slutsats är rimlig. Spara konstruktionen.

Randvinklar till en halvcirkel

Vad gäller för randvinklarna till en halvcirkel? Kan du lista ut det utan att göra en konstruktion?

Dra en slutsats och skriv ned den. Visa att din slutsats är rimlig antingen genom att hänvisa till en konstruktion eller med hjälp av ett resonemang (eller både och).

Kordor som skär varandra

Gör en cirkel med två kordor som skär varandra.

Gör fyra variabler för att lagra avstånden som visas i bilden till vänster. \(a=AE\), \(b=EC\), \(c=BE\) och \(d=ED\) (du kan använda andra bokstäver eller namn)

Om du vill lagra avståndet mellan punkterna \(A\) och \(B\) i en variabel \(a\), skriver du: a=Avstånd[A,B]i inmatningsraden. Du kan också göra ett segment från \(A\) till \(B\) och använda dess värde.

Se till att du inte använder variabelnamn som redan är upptagna av programmet.

Hitta ett samband mellan de fyra avstånden, antingen genom att betrakta förhållanden eller produkter.

Dra en slutsats och skriv ned den. Det måste framgå tydligt från din konstruktion att din slutsats är rimlig. Spara konstruktionen.

Bevis

När du bevisar dina slutsatser får du använda följande "fakta":

Randvinkel och medelpunktsvinkeln (randvinkelsatsen)

Slutsats: Medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som randvinkeln om de utgår från samma cirkelbåge.

Bevis: Det finns tre fall.

Prova att bevisa satsen i något/några fall. Fall 3 är det det svåraste, man kan använda sig av Fall 1 och subtraktion för att bevisa Fall 3.

Randvinklar

Slutsats: Randvinklar som utgår från samma cirkelbåge är lika stora.

Bevis: Använd randvinkelsatsen!

Motsatta vinklar i en fyrhörning på en cirkel

Slutsats: Summan av de motsatta vinklarna är 180°. α+β=180°

Bevis: Betrakta vinklarna kring medelpunkten, använd sedan randvinkelsatsen!

Randvinklar till en halvcirkel, Thales sats

Slutsats: Randvinkeln till en halvcirkel är 90°.

Bevisa det!

Kordor som skär varandra, kordasatsen

\(a=AE\), \(b=EC\), \(c=BE\) and \(d=ED\)

Slutsats: Med beteckningar som i bilden till vänster är, \[ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\]

Bevis: Använd randvinkelsatsen för att hitta likformiga trianglar, bevisa sedan påståendet!