Exakta vinklar

Pentagram. Klicka för att zooma in/ut!

De exakta värdena av sinus och cosinus för vinklarna \(30^\circ, 45^\circ\) och \(60^\circ \); kan bestämmas med hjälp av trianglarna i bilden nedan.

Image

Utöver dessa välkända vinklar finns det även andra vinklar som ger upphov till exakta värden av sinus och cosinus. I boken Almagest av Ptolemaeus, beräknas kordorna för vinklarna \(36^\circ \) och \(72^\circ \).

Den gyllene triangeln

Talen \(36, 72\) and \(108\), har egenskaperna att \(2\cdot 36 = 72\) och \(3\cdot 36 = 108\). Dessutom gäller det att: \[72+108=72+72+36=108+36+36=180\]

Om man startar med den likbenta triangeln till vänster i bilden nedan, kan man konstruera två likbenta trianglar genom att dra bisektrisen till en av \(72^\circ \)-vinklarna.

Image

Om man betraktar de inre vinklarna i en regelbunden femhörning

Image

finner man att man kan konstruera ett antal olika självupprepande mönster av pentagoner och pentagram som innehåller vinklarna \(36^\circ, 72^\circ, 108^\circ\) - och inga andra vinklar.

Image

Triangeln kallas den gyllene triangeln eftersom förhållandet mellan sidorna i triangeln är det gyllene snittet.

Image

Övningar

Image

Övning 1

Använd likformighet för att ställa upp en andragradsekvation för x (med beteckningar från bilden till höger). Visa att förhållandet mellan sidorna i den gyllene triangeln är det gyllene snittet genom att lösa andragradselvationen.

Övning 2

Bestäm de exakta värdena av \(\cos 36^\circ \) och \(\cos 72^\circ \).

animerad gif:

Pentagrams på tumblr.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se