Icke-euklidisk geometri

Ideal triangles in the Poincaré disc.

Parallellpostulatet

Det femte postulatet i Euklides Elementa kan omformuleras till

Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns det exakt en linje genom punkten som är parallell med den givna linjen.

Postulatet är inte sant i 3D men i 2D verkar det vara ett korrekt påstående. Med tanke på hur viktigt ett postulat är, är det inte tillräckligt för ett postulat att "verka vara korrekt".

image
Exakt en linje genom den röda punkten är parallell med den tjocka vita linjen.

Ett postulat (eller axiom) är ett påstående som är en utgångspunkt för en teori. Eftersom ett postulat är en utgångspunkt, kan det inte bevisas med hjälp av tidigare resultat. Av den anledningen måste ett postulat vara självklar. Euklides Elementa bygger på fem postulat. I över 2000 år har det femte postulatet ansetts vara mindre självklar än de fyra andra postulaten. Det har gjorts många försök att bevisa det femte postulatet med hjälp av de fyra första. Alla sådana försök har misslyckats. På 1800-talet visade man att det femte postulatet är oberoende av de andra postulaten. Det är möjligt att skapa en teori om geometri där det femte postulatet inte gäller. Sådana geometrier kallas icke-euklidiska. Vidare kan man visa att icke-euklidiska geometrier kan vara lika konistenta som den euklidiska geometrin. En teori är konsistent om den inte innehåller några motsägelser.

Motsatsen till parallellpostulatet, så som den formulerats ovan, är att det antingen inte finns någon linje alls, eller att det finns minst två linjer, "genom punkten som är parallell(a) med den givna linjen". Man kan visa att om det finns minst två sådana linjer, så finns det oändligt många.

Om parallellpostulatet ersätts med:

Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns det ingen linje genom punkten som är parallell med den givna linjen.

får man en elliptisk geometri.

Om parallellpostulatet ersätts med:

Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns det oändligt många linjer genom punkten som är parallella med den givna linjen.

får man en hyperbolisk geometri.

Avstånd, vinklar, och linjer

image
Euklidisk, elliptisk, och hyperbolisk triangel.

Utöver postulat, bygger också satserna i Euklides Elementa på ett antal definitioner. Definition nummer 23 säger att två linjer är parallella linjer om de aldrig möts. Det finns inget i definitionen som antyder att avståndet mellan parallella linjer är konstant. Parallellpostulatet är självklart bara om man föreställer sig två parallella linjer som ett järnvägsspår. Om man omdefinierar vad man menar med en linje, kan två parallella linjer antingen konvergera mot varandra eller divergera från varandra. I icke-euklidisk geometri, kallas det som motsvarar en linje ibland för en geodet. I icke-euklidisk geometri är den kortaste vägen mellan två punkter alltid längs en sådan geodet, eller "icke-euklidisk linje".

Alla satser i Euklides Elementa som använder det femte postulatet, kommer att förändras då man omformulerar parallellpostulatet. Exempelvis är summan av de inre vinklarna i en triangel 180° i den euklidiska geometrin, detta är inte fallet i icke-euklidisk geometri.

En modell för elliptisk geometri

image

Ett enkelt sätt att åskådliggöra elliptisk geometri är att betrakta geometrin på ytan av en sfär. Den kortaste vägen mellan två punker på en sfär är längs en så kallad storcirkel. En storcirkel är en cirkel som har samma radie och samma mittpunkt som sfären. En storcirkel är en geodet. Om det framgår att kontexten är elliptisk geometri, kan man kalla en storcirkel för en (elliptisk) linje.

Om två punkter är rakt motsatta på sfären (som nordpolen och sydpolen), finns the oändligt många vägar som alla är den kortaste vägen mellan de två punkterna. Om två punkter inte är antipoder, finns the endast en kortaste väg.

Två distinkta storcirklar måste skära varandra. Därför finns det inga parallella linjer på ytan av en sfär.

Med GeoGebra 5 kan man konstruera en storcirkel mellan två punkter A och B genom att första skapa ett plan mellan A, B och sfärens mittpunkt. Använd sedan verktyget Skär två ytor på planet och sfären för att skapa storcirkeln.

image

En elliptisk triangel definieras av tre hörn och tre storcirklar mellan par av hörn.

image

Den inre vinkeln vid ett hörn av en elliptisk triangel kan mätas på tangentplanet genom hörnet. Summan av de inre vinklarna är alltid större än 180° för en elliptisk triangel.

image

Poincarés cirkelmodell för hyperbolisk geometri

I Poincarés cirkelmodell (i 2D) ligger alla punkter på en öppen cirkelskiva. Poincarés cirkelskiva representerar världen. Då man talar om en öppen cirkelskiva, ingår inte randen. Randen till cirkelskivan är en cirkel som befinner sig vid oändligheten, \(C_\infty \).

En geodet mellan två punkter A och B definieras som den cirkelbåge genom A och B som är vinkelrät mot \(C_\infty \). Om A och B ligger på en diameter till \(C_\infty \), är denna diameter geodeten genom A och B.

image
Röda geodeter definierade av två punkter vardera.
Givet en tjock vit geodet och en röd punkt som inte ligger på denna geodet, finns det oändligt
många geodeter genom den röda punkten som inte skär den tjocka vita geodeten.

En inre vinkel i en triangel mäts mellan motsvarande tangentlinjer. Summan av de inre vinklarna är alltid mindre än 180° för en hyperbolisk triangel. Om triangelns hörn närmar sig randen \(C_\infty \), kommer vinkelsumman att gå mot 0. Punkter som ligger på \(C_\infty \) är så kallade gränspunkter. Den triangel som bildas då man låter en triangels hörn gå mot \(C_\infty \) kallas för en gränstriangel. En gränstriangel har vinkelsumman 0. Eftersom en gränstriangels hörn ligger vid oändligheten, är en gränstriangels omkrets oändligt lång. Man kan också visa att en gränstriangel har arean \(\pi\). Alltså har alla trianglar i animeringen överst på sidan samma hyperboliska area.

image
Hyperboliska trianglar.

animerad gif:

Ideal triangles på Ello.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se