Spegling i cirkel

Animerad Pappuskedja. Tryck 'i' för att zooma in eller 'o' för att zooma ut.

För att förstå konstruktionerna av de hyperboliska verktygen på nästa sida, måste man känna till något om spegling i cirkel.

Definition av spegling i cirkel

Om speglingscirkeln \(c\) har radien \(r\) och medelpunkten \(O\), så ligger spegelpunkten \(A'\) av \(A\) på en stråle från \(O\) till \(A\). Vidare gäller det att

\begin{equation*} OA\cdot {OA}' = r^2. \end{equation*}
image

När \(A\) närmar sig \(O\), går spegelpunkten \(A'\) mot oändligheten. Spegelpunkten av \(O\) är inte definierad såvida man inte inför en punkt som representerar oändligheten. Punkter på \(c\) förblir oförändrade efter spegling. Punkter på insidan av \(c\) speglas till utsidan, och tvärtom. Spegling i cirkel är en transformation som vänder ut och in på cirkeln.

Man kan konstruera en cirkelspeglad punkt som en passare-och-linjal-konstruktion. I GeoGebra finns det ett verktyg, Speglingspunkt till cirkel. För mer information om konstruktioner av speglingspunkter, och ett interaktivt ritexempel se Paint Circle-Inverted Mondrian!

Likformiga trianglar

Låt \(O\) vara speglingscirkelns medelpunkt. Låt \(A\) och \(B\) vara olika punkter som inte sammanfaller med \(O\). Betrakta trianglarna \(\Delta OAB\) och \(\Delta {OB}'A'\).

image
Trianglarna är likformiga.

Vi vet att \(OA\cdot {OA}' = OB\cdot {OB}' = r^2\). Eftersom \( \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OA'}{OB'} \), och \( \angle AOB = \angle A'{OB}' \), är sida-vinkel-sida kriteriet för likformiga trianglar uppfyllt. Därmed vet vi att trianglarna är likformiga.

\begin{equation} \label{eq:similar} \Delta OAB = \Delta {OB}'A' \end{equation}

Generaliserade cirklar och vinkelbevarande

Låt \(O\) vara speglingscirkelns medelpunkt. En cirkel genom \(O\) speglas till en linje. Omvänt speglas varje linje till en cirkel genom \(O\). En cirkel som inte går genom \(O\) speglas till en cirkel. Det är enklare att tala om spegling i cirkel om man inte skiljer på cirklar och linjer, utan istället använder så kallade generaliserad cirklar. GeoGebra kan hantera generaliserad cirklar. Prova genom att använda verktyget Speglingspunkt till cirkel på cirklar och linjer!

image
Cirklar och linjer speglas till cirklar eller linjer.
Punkter på insidan av \(c\) speglas till utsidan, och tvärtom.

Vinklar bevaras vid spegling i cirkel. Som en följd av vinkelbevarandet, får man att objekt som tangerar varandra, tangerar varandra även efter spegling i cirkel. För ett exempel där tangerande cirklar speglas i cirkel, se Geometri - Apollonius cirkelfraktal.

image
Vinklar bevaras och tangerande cirklar tangerar varandra även efter spegling.

För att visa att generaliserade cirklar speglas till generaliserade cirklar, måste vi betrakta alla olika fall.

Linjer och cirklar genom speglingscirkelns medelpunkt

Om två punkter \(A\) och \(B\) bägge ligger på en linje \(l\) genom medelpunkten \(O\); så ligger både strålen från \(O\) till \(A\), och strålen från \(O\) till \(B\) på \(l\). Därför ligger speglingspunkterna \(A'\) och \(B'\) också på \(l\). Linjer genom medelpunkten \(O\) förblir oförändrade vid spegling i cirkel.

image
Linjer genom \(O\) förblir oförändrade.

Låt \(l\) vara en linje som inte går genom \(O\). Gör en annan linje genom \(O\) som är vinkelrät mot \(l\) och låt \(A\) vara skärningspunkten mellan de två linjerna. Låt \(B\) vara en godtycklig punkt på \(l\) som inte sammanfaller med \(A\).

Linjer som inte går genom \(O\) speglas till cirklar genom \(O\), och tvärtom.
Flytta \(B\) längs linjen. Flytta på \(A\).

Eftersom \( \Delta OAB \sim \Delta OB'A' \), måste det gälla att \(\angle OB'A' = \angle OAB = 90^\circ \). Thales sats tillsammans med omvändningen till Thales sats, ger att \(B'\) ligger på en cirkel genom \(A\) och \(A'\). Vi har visat att linjer som inte går genom \(O\) speglas till cirklar genom \(O\) (bortsett från punkten \(O\)). Genom att göra samma konstruktion fast byta ordning på processen, kan man visa att cirklar genom \(O\) speglas till linjer som inte går genom \(O\).

Cirklar som inte går genom medelpunkten

Låt \(c\) vara en cirkel som inte går genom \(O\). Låt \(A\) vara den punkt på \(c\) som ligger närmast \(O\) och låt \(B\) vara den punkt på \(c\) som har maximalt avstånd från \(O\). Låt \(C\) vara en godtycklig punkt på \(c\) som inte sammanfaller med vare sig \(A\) eller \(B\). Bilden nedan visar hur det ser ut i det fall då \(c\) ligger innanför speglingscirkeln.

image
\(\angle ACB = 90^\circ \Longrightarrow \angle B'C'A' = 90^\circ \).

Genom att använda likformighet, Thales sats, och omvändningen till Thales sats; kan man visa att \(C'\) ligger på en cirkel genom \(A'\) och \(B'\). Beviset antyds i bilden ovan men detaljerna är utelämnade. Andra placeringar av cirkeln \(c\) kan bevisas på liknande sätt. Sammanfattningsvis har vi att : cirklar som inte går genom \(O\) speglas till cirklar.

Vinklar bevaras

Vinkeln mellan två cirklar är vinkeln mellan tangenterna till cirklarna vid en skärningspunkt. Istället för att använda vinkeln mellan tangenterna, skall vi använda den vinkel \(\angle ACB\) som uppkommer om man låter \(C\) vara en skärningspunkt, samt \(A\) och \(B\) vara punkter längs en linje på en av cirklarna; som i bilden nedan.

image
\(\angle ACB = \angle B'C'A' \).

Vinkeln mellan tangenterna är gränsvärdet av vinkeln \(\angle ACB\) om man låter linjen mellan \(A\) och \(B\) närma sig linjen mellan \(O\) och \(C\). Man kan visa att \(\angle ACB = \angle B'C'A\). Beviset antyds i bilden ovan men detaljerna är utelämnade. Andra fall av vinklar mellan cirklar och linjer kan visas på liknande sätt. Sammanfattningsvis har vi att: vinkeln mellan två generaliserade cirklar bevaras vid spegling i cirkel.

Spegling i cirkel då cirklarna är vinkelräta mot varandra

Poincarés cirkelskiva (i 2D) är området innanför en cirkel. Cirkeln inkluderas inte. När man använder Poincarés cirkelskiva för att modellera hyperbolisk geometri, används bara punkter på cirkelskivan. Cirkelskivan representerar hela den hyperboliska världen. Randen till cirkelskivan är en cirkel som ligger vid oändligheten, \(C_\infty \).

En geodet mellan punkterna \(A\) och \(B\) är den cirkelbåge som går genom \(A\) och \(B\) och som är vinkelrät mot \(C_\infty \). Om \(A\) och \(B\) ligger på en diameter till \(C_\infty \), är denna diameter geodeten mellan \(A\) och \(B\). En geodet är den hyperboliska motsvarigheten till en Euklidisk linje. En geodet är en hyperbolisk linje.

image
Geodeter genom två punkter.

Vinkelräta generaliserade cirkelbågar använd som hyperboliska linjer på grund av de egenskaper vinkelräta cirklar har då man speglar i cirkel.

Cirklar vinkelräta mot speglingscirkeln förblir oförändrade efter spegling

Antag att vi har en cirkel \(c\) och två olika punkter på \(c\), då finns det en och endast en cirkel genom punkterna som är vinkelrät mot \(c\). Beviset utelämnas men antyds i arbetsbladet nedan.

Om den röda cirkeln speglas i den grå cirklen, kommer de stora röda punkterna att förbli oförändrade vid spegling. Eftersom vinklar bevaras kommer den speglade cirkeln också att vara vinkelrät mot den grå cirkeln. Eftersom det endast finns en cirkel genom de röda punkterna som är vinkelrät mot den grå cirkeln, måste den speglade cirkeln sammanfalla med den ursprungliga cirkeln.

Dra i de röda punkterna.

För en cirkel som skär speglingscirkeln men inte är vinkelrät mot denna, bevaras vinklarna också, men eftersom orienteringen av punkter ändras och eftersom det finns två vinklar mellan två linjer, kommer cirkeln inte att speglas till sig själv. En cirkel förblir oförändrad vid spegling om och endast om cirkeln är vinkelrät mot speglingscirkeln.

image
Den röda och blå cirkeln är varandras spegelbild.

Betrakta en geodet på Poincarés cirkelskiva. Geodeten är vinkelrät mot \(C_\infty \), alltså speglas \(C_\infty\) till sig själv vid spegling i geodeten. Om en punkt innanför \(C_\infty\) speglas i en geodet, så kommer spegelpunkten också att ligga innanför \(C_\infty\), på andra sidan geodeten.

image
Det röda området speglas till det gula området. Vinklar bevaras.

Vinkelräta cirklar och spegelpunkter

Låt \(A\) vara en punkt och \(c\) en cirkel genom \(A\) som är vinkelrät mot \(C_\infty \). Om \(A\) speglas i \(C_\infty \) måste spegelpunkten \(A'\) också ligga på \(c\) (eftersom \(c\) speglas till sig själv).

Det omvända påståendet är: Låt \(A\) vara en punkt på en cirkel \(c\). Låt \(A'\) vara spegelpunkten av \(A\) vid spegling i \(C_\infty \). Om \(A'\) också ligger på \(c\), måste \(c\) vara vinkelrät mot \(C_\infty \).

För att visa det omvända påståendet, gör följande konstruktion: Låt \(M\) vara medelpunkt till \(c\). Markera en av skärningspunkterna mellan de två cirklarna och kalla den \(P\). Gör en stråle från \(O\) till \(A\). Gör en linje genom \(M\) som är vinkelrät mot strålen och markera skärningspunkten \(B\). Som i bilden nedan.

image
\(c\) måste vara vinkelrät mot \(C_\infty \).

För att visa att \(c\) är vinkelrät mot \(C_\infty \), måste vi visa att \(\angle OPM = 90^\circ\). Genom att använda omvändningen till Pythagoras sats räcker det att visa att \({OP}^2+{MP}^2={OM}^2\). Vi har att

\[\begin{align*} {OP}^2 & = OA\cdot {OA}'\\ & = (OB - AB)(OB + AB) \\ & = {OB}^2-{AB}^2 \\ & = ({OM}^2-{MB}^2)-{AB}^2 \\ & = {OM}^2-({MB}^2+{AB}^2) \\ & ={OM}^2-{MA}^2 \\ & = {OM}^2-{MP}^2. \\ \end{align*} \]

Således gäller det att; en cirkel genom \(A\) och dess spegelpunkt \(A'\), måste vara vinkelrät mot speglingscirkeln.

Nedan visas ett specialfall av vinkelräta cirklar genom \(A\) och \(A'\). Låt \(M\) vara mittpunkten mellan \(A\) och \(A'\), och låt \(c\) vara den cirkel genom \(A\) som har \(M\) som medelpunkt. Då är \(c\) vinkelrät både mot \(C_\infty \) och linjen genom \(O\) och \(A\).

image
\(c\) är vinkelrät både mot \(C_\infty \) och linjen genom \(O\) och \(A\).

Definition av dubbelförhållandet

Då man speglar i cirklar bevaras vinklar men inte avstånd. Det finns emellertid ett förhållande mellan avstånd som bevaras även vid spegling i cirkel. Givet fyra punkter \(A, B, C, D\), definieras dubbelförhållandet \((A,B; C, D)\) av

\begin{equation} \label{eq:crossratio} (A,B; C, D) = \frac{AC \cdot BD }{BC\cdot AD}. \end{equation}

Dubbelförhållandet är invariant vid spegling i cirkel

Om de fyra punkterna speglas i en cirkel till spegelpunkterna \(A', B', C', D'\), så gäller att

\begin{equation} (A,B; C, D) = (A',B'; C', D') \Longleftrightarrow \frac{AC \cdot BD }{BC\cdot AD} = \frac{A'C' \cdot B'D' }{B'C'\cdot A'D'}. \end{equation}
image
Dubbelförhållandet bevaras då punkterna speglas i en cirkel.

Vi vet från ekvation \( \eqref{eq:similar}\) att för varje par av speglade punkter \(A\) och \(B\) som inte ligger på en linje genom \(O\), är \(\Delta OAB\ \sim \Delta OB'A'\). Därför är

\begin{equation} \label{eq:oaob} \frac{AB}{A'B'} = \frac{OA}{{OB}'}. \end{equation}

Betrakta fallet då \(A, B, O\) ligger på en linje, som i bilden nedan.

image

I detta fall får vi att

\[ \frac{AB}{OA} = \frac{OA+OB}{OA} = 1+\frac{OB}{OA} = 1+\frac{r^2/{OB}'}{r^2/{OA}'} = 1+\frac{{OA}'}{{OB}'} = \frac{{OB}'+{OA}'}{{OB}'} = \frac{A'B'}{{OB}'} . \]

Om \(A\) och \(B\) ligger på samma stråle från \(O\) (inte på motsatta sidor som i bilden ovan), kan man göra en liknande beräkning som ger samma resultat. För alla punkter \(A\) och \(B\) som inte sammanfaller med \(O\), gäller ekvation \(\eqref{eq:oaob}\).

Ekvation \(\eqref{eq:oaob}\) kan användas på alla punkter i dubbelförhållandet:

\[ \frac{AC}{A'C'}=\frac{OA}{{OC}'}, \hspace{1cm} \frac{BC}{B'C'} = \frac{OB}{{OC}'}, \hspace{1cm} \frac{BD}{B'D'} = \frac{OB}{{OD}'}, \hspace{1cm} \frac{AD}{A'D'} = \frac{OD}{{OA}'} \]

Om man använder dessa relationer och multiplicerar får man att

\[ \frac{AC}{A'C'}\cdot \frac{B'C'}{BC}\cdot \frac{BD}{B'D'}\cdot \frac{A'D'}{AD} = \frac{OA}{{OC}'}\cdot \frac{{OC}'}{OB}\cdot \frac{OB}{{OD}'}\cdot \frac{{OD}'}{OA}=1. \]

Vilket bevisar påstående \( \eqref{eq:crossratio}\), att dubbelförhållander är invariant under spegling i cirkel.

Hyperboliskt avstånd

Låt \(A\) och \(B\) vara punkter på Poincarés cirkelskiva. Låt \(P\) och \(Q\) vara ändpunkter till den hyperboliska linjen genom \(A\) och \(B\). Då definieras det hyperboliska avståndet \(d(A,B)\) mellan \(A\) och \(B\) av:

\[ d(A,B) = |\ln(A,B; P,Q)|=\left|\ln\left(\frac{AP \cdot BQ}{BP \cdot AQ}\right)\right| \]

\(P\) och \(Q\) är så kallade ideala punkter. Eftersom själva cirkeln ligger i oändligheten, tillhör \(P\) och \(Q\) inte vårt hyperboliska universum. Eftersom \(A\) och \(B\) aldrig kan sammanfalla med vare sig \(P\) eller \(Q\), är avståndet alltid definierat.

För alla punkter \(A, B, C\) på Poincarés cirkelskiva, gäller följande påståenden:

image
  • \(d(A,B)\geq 0\)
  • \(d(A,A)=\left|\ln\left(\frac{AP \cdot AQ}{AP \cdot AQ}\right)\right| = \ln(1) =0 \)
  • \(A\neq B \Rightarrow d(A,B)\neq 0\)
  • \(d(A,B) = \left|\ln\left(\frac{AP \cdot BQ}{BP \cdot AQ}\right)\right| = \left|-\ln\left(\frac{AP \cdot BQ}{BP \cdot AQ}\right)\right| = \left|\ln\left(\frac{BP \cdot AQ}{AP \cdot BQ}\right)\right| = d(B,A)\)
  • Då \(A\) närmar sig \(P\) (eller \(Q\)), går \(AP\) (eller \(AQ\)) mot 0 och \(d(A,B)\) mot oändligheten.
  • Om \(C\) ligger mellan \(A\) och \(B\) på en geodet genom \(A\) och \(B\), så är

    \(d(A,C)+d(C,B) = \left|\ln\left(\frac{AP \cdot CQ}{CP \cdot AQ}\right)\right| + \left|\ln\left(\frac{CP \cdot BQ}{BP \cdot CQ}\right)\right| \)

    Om punkterna är placerade som i bilden till höger, så är \(AP \cdot CQ > CP \cdot AQ \) och \(CP \cdot BQ > BP \cdot CQ \), vi behöver därför inget absolutbelopp.

    \(d(A,C)+d(C,B) = \ln\left(\frac{AP \cdot CQ \cdot CP \cdot BQ}{CP \cdot AQ \cdot BP \cdot CQ}\right) = \ln\left(\frac{AP \cdot BQ}{AQ \cdot BP}\right) = d(A,B)\)

Spegling i en geodet är den hyperboliska motsvarigheten till spegling i en linje

Låt \(C_\infty\), med medelpunkt \(O\), vara randen till Poincarés cirkelskiva. Spegla de två punkterna \(A\) och \(B\) i en geodet \(g\) till spegelpunkterna \(A'\) och \(B'\). Vi vill visa att det hyperboliska avståndet bevaras, det vill säga att \(d(A,B) = d(A', B')\). Eftersom det hyperboliska avståndet beror på ändpunkterna till geodeten mellan \(A\) och \(B\), måste vi först se vad som händer med ändpunkterna då de speglas i \(g\).

Ändpunkterna till en geodet speglas till ändpunkterna av geodetens spegelbild

Låt \(P\) och \(Q\) vara punkter på \(C_\infty\) som speglas i geodeten \(g\) till spegelpunkterna \(P'\) och \(Q'\). Genom att använda skärning mellan tangenter, kan man konstruera en cirkel genom \(P\) och \(P'\) som är vinkelrät mot \(C_\infty\). På samma sätt kan man konstruera en cirkel genom \(Q\) och \(Q'\) som är vinkelrät mot \(C_\infty\). Dessa två cirklar är blå i arbetsbladet nedan. Vi kan också konstruera en cirkel genom \(P'\) och \(Q'\) som är vinkelrät mot \(C_\infty\), den gula cirkeln i arbetsbladet nedan.

En geodet genom \(P\) och \(Q\) är en cirkelbåge på den röda cirkeln med ändpunkter i \(P\) och \(Q\). Om denna geodet speglas i \(g\), måste också spegelbilden av geodeten vara vinkelrät mot \(C_\infty\), dessutom måste spegelbilden tangera de blå cirklarna. Alltså måste spegelbilden vara en cirkelbåge på den gula cirkeln. Ändpunkterna till spegelbilden är skärningspunkterna med de blå cirklarna, och dessa skärningspunkter sammanfaller med \(P'\) och \(Q'\).

Flytta de stora punkterna.

Spegling i en geodet bevarar avstånd

Låt \(A\) och \(B\) vara olika punkter på Poincarés cirkelskiva och låt \(P\) och \(Q\) vara ändpunkter till geodeten genom \(A\) och \(B\). Låt \(A\) och \(B\) speglas i en annan geodet till \(A'\) och \(B'\). Ändpunkterna till geodeten genom \(A'\) och \(B'\) är spegelpunkterna \(P'\) och \(Q'\). Eftersom dubbelförhållandet bevaras under spegling i cirkel, måste avståndet mellan \(A\) och \(B\) också bevaras.

\begin{equation} (A, B; P, Q) = (A',B'; P', Q') \Longrightarrow d(A, B) = d(A', B') \end{equation}

 

referenser:

G. Eric Moorhouse - Foundations of Geometry, Inversive Plane Geometry (pdf)

Anton Petrunin - Euclidean and Hyperbolic Planes, A minimalistic introduction with metric approach (pdf)

Kenji Kozai & Shlomo Libeskind - Circle Inversions and Applications to Euclidean Geometry (pdf)

Marvin Jay Greenberg - Euclidean and Non-Euclidean Geometries, Development and History

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se