Projicera 3D på 2D

En punkt i ett tredimensionellt koordinatsystem kan representeras av en \(3\times 1\) matris. Då man modellerar tre dimensioner på en tvådimensionell datorskärm, måste man projicera varje punkt till 2D. Efter projiceringen, skall varje punkt representeras av en \(2\times 1\) matris.

Om man antar att z-axeln (eller den tredje basvektorn) pekar ut från datorskärmen, så är skärmen en projicering på xy-planet.

Projektionsmatrisen \(\mathbf{P}\) måste avbilda matrisen \(\mathbf{v}=\left( \begin{array}{} a\\b\\c\\ \end{array}\right)\) på en matris \(\mathbf{w}=\left( \begin{array}{} a\\b\\ \end{array}\right)\). Detta kan man åstadkomma genom att låta

\[\mathbf{P}=\left( \begin{array}{} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\ \end{array}\right)\]

Sedan låter man \(\mathbf{w}=\mathbf{P}\mathbf{v}\).

Matris som en visuell punkt

I GeoGebra representeras matriser av listor. En \(2\times 1\) matris syns inte i ritområdet.

Om man vill visa en matris \(\mathbf{matrix1}=\binom{2}{1}\) som en punkt, måste man använda matriselementen som koordinater till en ny punkt. Man kommer åt ett matriselement med kommandot Element[<matris>, <rad>, <kolumn>].

För att visa en \(2\times 1\)-matrix \(\mathbf{w}\) som en punkt \(A\), skriver man: A=(Element[w,1,1],Element[w,2,1])

Övning

• Gör tre glidare för att representera matriselementen \(v_x, v_y, v_z\) till en matris \(\mathbf{v}\).
• Skapa matrisen \(\mathbf{v}\) genom att använda kalkylbladet eller genom att skriva den som en lista i inmatningsraden: v={{v_x},{v_y},{v_z}}
• Skapa projektionsmatrisen \(\mathbf{P}\).
• Skapa den projicerade matrisen \(\mathbf{w}=\mathbf{P}\mathbf{v}\) genom att skriva i inmatningsraden: w=P v
• Skapa en punkt A som har matriselementen till \(\mathbf{w}\) som koordinater.
• Ändra på glidarna. Då man ändrar glidaren \(v_z\), skall ingenting hända med punkten A.

Detta fortsätter med rotationerna på nästa sida.