Rotationerna

Om z-axeln pekar ut från skärmen, och om man roterar basvektorerna med vinkeln \(\alpha\) runt z-axeln, får man de roterade vektorerna som i bilden nedan.

Den tredje basvektorn, den som är parallell med z-axeln, påverkas inte.

Rotationsmatrisen \(\mathbf{T_z}\) för rotation runt z-axeln blir:

\[\mathbf{T_z}=\left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

På liknande vis finner man rotationsmatriserna runt x- respektive y-axeln.

\[\mathbf{T_x}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{array} \right) \]

\[\mathbf{T_z}=\left( \begin{array}{ccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{array} \right) \]

Övning

Detta är en fortsättning från föregående sida.

• Lägg in tre glidare för att representera vinklarna, en vinkel per axel/basvektor.
• Skriv in de tre rotationsmatriserna, en matris till varje vinkel.
• Istället för att bara projicera matrisen \(\mathbf{v}\) till 2D, måste den nu roteras innan den projiceras. Ändra definitionen av matrisen \(\mathbf{w}\) från \(\mathbf{w}=\mathbf{Pv}\) till \(\mathbf{w}=\mathbf{PT_xT_yT_zv}\)

Detta fortsätter med kuben på nästa sida.