Linjära avbildningar

Avbildningsmatrisen och dess determinant

Ändra vektorerna eller den blå kvadraten genom att dra i de röda punkterna!

Antag att enhetsvektorerna \(\mathbf{e_1}\) och \(\mathbf{e_2}\) avbildas på vektorerna \(\mathbf{u}=\binom{a}{b}\) respektive \(\mathbf{v}=\binom{c}{d}\). Avbildningsmatrisen blir då

\[\mathbf{T}=\left( \begin{array}{} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)\]

Determinantens absolutvärde ger oss areornas skalfaktor. Betrakta den transformerade bilden av Mandelbrotmängden då determinanten är negativ!

För att visualisera en linjär avbildning av en polygon i GeoGebra, gör så här:

  • Gör två vektorer \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\) utgående från origo. Placera inte slutpunkterna på x- eller y-axeln, då fastnar de där. Låt slutpunkten till \(\mathbf{u}\) heta \(A\), och slutpunkten till \(\mathbf{v}\) heta \(B\).
  • Skapa avbildningsmatrisen \(\mathbf{T}=\left( \begin{array}{} x(A) & x(B) \\ y(A) & y(B) \\ \end{array} \right)\)
  • Lägg in determinanten i en variabel: detT=determinant[T]
  • Gör en valfri polygon, poly1
  • Avbilda polygonen med kommandot ApplyMatrix[T,poly1]
  • Gör en variabel: areor=poly1'/poly1.
  • Högerklicka på poly1', välj Egenskaper och sedan Avancerat. Fyll i detT>0 i fältet ”Blå”, och detT<=0 i fältet ”Röd”. Polygonen kommer då att bli rödfärgad då determinanten är negativ.
  • Studera variablerna areor, detT och polygonens färger!

Linjära transformationer av kurvor

Dra i de röda punkterna för att transformera kurvan!

Grafen till funktionen \(f(x)\) kan ritas som kurvan \(c\) med koden:

c=Curve[t, f(t), t, -20, 20]

Varje punkt på kurvan har koordinaterna \((t,f(t))\). Genom att avbilda motsvaranda vektor med hjälp av en linjär avbildningsmatris, får man en transformerad kurva. För att göra detta i GeoGebra: skapa punkter och vektorer enligt beskrivningen i avsnittet ovan. Skriv sedan in kurvan:

c=Curve[t x(A) + f(t) y(A), t x(B) + f(t) y(B), t, -20, 20]

 

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se