Ortsvektorer

Om man har två punkter i koordinatplanet, kan man göra en vektor mellan punkterna. Genom att välja basvektorerna så att de utgår från origo och pekar på koordinaterna (1, 0) respektive (0, 1), får man en behändig bas om man vill jämföra vektorns koordinater med punkternas koordinater.

Om \(\mathbf{w}\) pekar på punkten \(P\), så är koordinaterna till vektorn \(\mathbf{w}\) samma som koordinaterna till punkten \(P\).

\(\mathbf{w}\) är en vektor som utgår från punkten \(O\) och pekar på punkten \(P\), där \(O\) är origo.

\[\mathbf{w}=\vec{OP}\]

\(\vec{OP}\) är en så kallad ortsvektor; den är en vektor mellan punkterna O och P och kan därför inte flyttas. Vill man ha en flyttbar vektor, introducerar man en vektor w och låter \(\mathbf{w}=\vec{OP}\).

Hur man når en punkt i koordinatplanet

Genom upprepad vektoraddition finner man att \(\mathbf{z}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\mathbf{w}\); eller uttryckt i ortsvektorer

\[\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{AB}+\vec{BC}\]

Vektorsubtraktion

Då två vektorer \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\) subtraheras, får man resultat, vektorn \(\mathbf{u}-\mathbf{v}\), genom att gå från spetsen på \(\mathbf{v}\) till spetsen på \(\mathbf{v}\). Se konstruktionen nedan!

Detta resultat är speciellt användbart då man försöker bestämma koordinaterna för en vektor som ligger mellan två punkter i ett koordinatplan.

Om vektorn \(\vec{PQ}\) ligger mellan punkterna \(P\) och \(Q\) med kända koordinater; kan man bestämma koordinaterna för \(\vec{PQ}\) genom att använda vektorsubtraktion.

Eftersom \(\vec{OP}\) och \(\vec{OQ}\) har samma koordinater som punkterna \(P\) och \(Q\), kan man bestämma koordinaterna för \(\vec{PQ}\) med hjälp av:

Övning

• Lägg in en glidare n som antar värden ≥1.
• Gör en liksidig triangel genom punkter A, B och C.
• Låt punkten A₁ dela sträckan BC i förhållandet 1:n. Lägg in vektorer och konstruera detta:

Då n=1 kallas sträckan mellan A och A₁ för median. Det finns tre medianer i en triangel; använd vektorer för att visa att de tre medianerna alltid möts i samma punkt. Den gemensamma skärningspunkten är triangelns tyngdpunkt.

Då n>1 bildas en mindre triangel inuti den stora triangeln, som i konstruktionen ovan. Gör ett antagande som alltid gäller för den mindre triangeln. Bevisa ditt antagande!