Bas och koordinater

En skalär är ett reellt tal (tills vidare). När man håller på med vektorer behöver man kunna skilja på kvantiter som har riktning och kvantiteter som saknar riktning.

Övningar - Multiplikation med en skalär

Övning 1

• Gör en vektor u som utgår från origo.
• Skriv in 2*u i inmatningsraden.
• Skriv in -u i inmatningsraden.
• Ändra på vektorn u.
• Gör en glidare a. Skriv in a*u i inmatningsraden. Beskriv vad som händer då en vektor multipliceras med en skalär; en positiv eller negativ skalär.

Vad händer då man multiplicerar med noll? Är resultatet en vektor? Vore det rimligt att kalla "nollvektorn" för en vektor eller ej? Om nollvektorn är en vektor på vilket vis skiljer den sig då från andra vektorer?

Övning 2

• Gör två vektorer u och v, båda skall utgå från origo. De två vektorerna skall inte vara parallella och inte ligga längs koordinataxlarna.
• Gör två glidare a och b. Ändra glidarinställningarna så att de ökas med 0.01 och så att bredden blir 200. (Detta gör man under fliken Glidare i egenskapsfönstret.)
• Skriv in vektorn w=a*u+b*v.
• Kan du få vektorn w att peka på punkten (2, 3) genom att ändra på glidarna? Kan du få den att peka på punkten (-1,-2) genom att ändra på glidarna?

Spara objekten till övning 3.

Övning 3

Flytta på vektorerna u och v så att u pekar på punkten (1, 0) och v på punkten (1, 0)!

Ändra nu på glidarna så att vektorn w pekar på (2, 3) respektive (-1, -2)!

Definition av bas och koordinater

Två icke-parallella vektorer, varav ingen är en nollvektor, kan utgöra en bas för planet. Givet en bas kan en godtycklig vektor skrivas som en linjärkombination av basvektorerna.

Om basvektorerna kallas \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\), kan en godtycklig vektor \(\mathbf{w}\) skrivas som

\[\mathbf{w}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\]

för några skalärer \(a\) och \(b\). \(\mathbf{w}\) är en så kallad linjärkombination av \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{w}\).De två skalärerna \(a\) och \(b\) kallas för koordinaterna för vektorn \(\mathbf{w}\) i basen \(\mathbf{u}\) och \(\mathbf{v}\).

Om basvektorerna är givna finns det förenklade sätt att skriva vektorn på, antingen som

Om man har två vektorer \(\mathbf{w}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}\) och \(\mathbf{z}=c\mathbf{u}+d\mathbf{v}\), kan man addera dem på följande vis:

\[\binom{a}{b}+\binom{c}{d}=a\mathbf{u}+b\mathbf{v}+c\mathbf{u}+d\mathbf{v}=(a+c)\mathbf{u}+(b+d)\mathbf{v}=\binom{a+c}{b+d}\]