Inlämningsuppgift

Uppgift 1

I den likbenta triangeln ΔABC är AB=AC. Punkterna D och E ligger på sidan BC och är sådana att BD=CE. Vad kan man säga om AD och AE? Bevisa ditt påstående!

Uppgift 2

Låt ABCD vara en kvadrat. På diagonalen AC väljs punkterna E och F så att AE=CF=AB. Vad kan man säga om fyrhörningen BEDF? Bevisa ditt påstående!

Uppgift 3

3.a) I triangeln XYZ är O mittpunkten på sidan XY. Om OX=OY=OZ vad kan man då säga om vinkeln Z? Bevisa ditt påstående!

3.b) I triangeln ΔABC är M och N mittpunkterna på sidorna AB respektive AC. Bisektrisen till vinkeln B skär MN i punkten P. Vad kan man säga om vinkeln APB? Bevisa ditt påstående!

Uppgift 4

Det kortaste avståndet från en punkt P till en linje l är längden av sträckan mellan P och den punkt Rl som är sådan att PR är vinkelrät mot linjen l. Denna längd kallas framöver avståndet från P till linjen l.

4.a) Låt α vara en vinkel, och låt P vara en godtycklig punkt på vinkelns bisektris. Vad kan man säga om avståndet från P till vinkelns sidor? Rita figur! Bevisa ditt påstående!

4.b) Låt β vara en vinkel och M vara en godtycklig punkt inuti vinkeln som ligger på samma avstånd till vinkelns sidor. Rita figur! Vad kan man säga om linjen som går genom vinkelns hörn och punkten M? Bevisa ditt påstående!

4.c) En linje d skär sidorna AB och AC i triangeln ABC i punkterna M respektive N. Bisektrisen till vinkeln BAC skär bisektrisen till vinkeln BMN i punkten I. Vad kan man säga om vinklarna MNI och CNI? Bevisa ditt påstående!

Uppgift 5

Låt c vara en cirkel med centrum i punkten I och låt A vara en punkt utanför c. Rita tangenterna från A till c och sedan en linje som skär båda tangenterna och som också är tangent till cirkeln c. Kalla skärningspunkterna för B respektive C. Punkterna A, B och C bildar en triangel; om cirkeln ligger inuti triangeln får vi en triangel som omskriver cirkeln c.

5.a) Vad vet vi om förhållandet mellan en tangent till cirkeln och radien till tangeringspunkten?

5.b) Dra en slutsats om AI, BI och CI och bevisa den.

5.c) Mittpunktsnormalerna till BI och CI skär sidan BC i punkterna E respektive F och varandra i punkten P. Vad kan man säga om triangeln IEF i förhållande till triangeln ABC? Bevisa ditt påstående!

5.d) Vad kan man säga om punkterna A, I och P? Bevisa ditt påstående!

Deadline fredagen den 23/10 kl 24:00

uppgifterna gjorda av:

Anna-Maria Persson, Matematik NF, Lunds Universitet

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se