Variabler, polygoner och vinklar

Animerad pusselversion av Pythagoras sats. Ändra den översta glidaren för att se translationerna.

Dynamisk programvara fungerar väl om man vill hitta matematiska mönster. Genom att undersöka numeriska värden, är det möjligt att dra slutsatser. Sådan slutsatser är inget värda om de inte åtföljs av ett matematiskt resonemang. Det hade varit möjligt att göra ett program som producerade systematiska numeriska fel. Det är viktigt att förstå skillnaden mellan en demonstration och ett bevis. I arbetsbladet ovan, föreslås att bevis av Pythagoras sats, ett enklare bevis visas på sidan Geometri - Pythagoras & Thales.

Demonstration av Pythagoras sats

En demonstration av Pythagoras sats som visar numeriska värden.

Gör en rätvinklig triangel med hjälp av dessa verktyg:

Icon Linje mellan två punkter
Icon Vinkelrät linje
Icon Ny punkt
Icon Polygon

Punkterna i en polygon skall placeras i moturs ordning!

Använd verktyget Vinkel Icon för att markera den räta vinkeln. Flytta runt punkterna! Triangeln skall förbli rätvinklig.

Om man använder verktyget Vinkel och sedan klickar på en polygon, så markeras alla vinklar i polygonen. Om polygonens hörn är placerade i moturs riktning, blir de inre vinklarna markerade, annars de yttre.

Image
Triangeln till vänster är gjord i moturs riktning, triangeln till vänster i medurs riktning.

Variabler

Alla objekt i GeoGebra har namn, så kallade variabelnamn. Man kan döpa om en variabel genom att högerklicka på objektet i algebrafönstret och välja Ge nytt namn.

image

Döp om sidorna till a, b och c; som i bilden nedan.

image

Nu heter triangelsidorna a, b respektive c; punkterna heter A, B och C; triangeln heter poly1 och vinkeln heter α.

En variabel har dels ett namn och dels ett värde. Variablernas värden syns i algebrafönstret.

  • Punkternas värden är deras koordinater.
  • Sidornas värden är deras längder.
  • Triangelns värde är dess area.

Om man flyttar runt punkterna ser man hur variabelvärdena förändras.

Man kan själv bestämma hur många decimaler som skall visas, välj Inställningar->Antal decimaler.

Egna variabler

För att demonstrera Pythagoras sats behöver vi åskådliggöra hypotenusan i kvadrat respektive summan av kvadraterna på kateterna. Vi inför därför egna variabler för att lagra dessa två värden.

Skrivsättet för nedsänkta och upphöjda tecken är samma som i en mängd andra matematikprogram.

Upphöjt skrivs med hjälp av ^     x^2 skrivs ut så här \(x^2\)

Nedsänkt skrivs med hjälp av _     c_1 skrivs ut så här \(x_1\)

 

Man skriver en ^ genom att trycka Shift+^, tecknet ^ visas eventuellt inte förrän man trycker ner nästa tangent eller trycker på spacebar. Man skriver ett _ genom att trycka Shift+-.

image

Man skriver in variablerna i inmatningsfältet längst ned. Om inmatningsfältet inte syns, väljer man Visa->Inmatningsfält

Lagra exempelvis kvadraten av hypotenusan i variabeln v1 och summan av kvadraterna på kateterna i v2.

I algebra-fönstret kan man studera v1 respektive v2 då man flyttar runt punkterna i triangeln.

Observera att:

Detta är inte ett bevis för Pythagoras sats, utan endast en demonstration som troliggör att Pythagoras sats nog kan vara sann!

Man kan åskådliggöra demonstrationen tydligare genom att lägga dit textrutor i ritytan, detta handlar nästa avsnitt om. Spara triangeln!

En falsk demonstration

En demonstration som antyder att Pythagoras sats inte är sann för någon triangel bortsett från 3-4-5-triangeln.

mer info:

fler bevis: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se