Passare och linjal

Matematik är en vetenskap som är axiomatiskt uppbyggd. Påståenden som upplevs som självklara förutsätts vara sanna och kallas för axiom. Varje påstående som inte är ett axiom måste bevisas. Då man genomför ett bevis får man använda sig av axiom och av påståenden som redan är bevisade. Ett påstående som bevisats kallas för sats.

I geometriska bevis kan man finna formuleringar som "...dra en linje som är vinkelrät mot...". För att bevisa att man kan dra exempelvis en vinkelrät linje, används så kallade passare och linjal konstruktioner; att dessa konstruktioner stämmer, måste sedan bevisas. När en konstruktion är bevisad är det sedan fritt fram att använda den i bevisföringen eller i andra konstruktioner.

Varken passaren eller linjalen får lov att ha några graderingar, man får alltså inte lov att mäta avstånd i enheter. För att hantera avstånd används istället det faktum att alla punkter på en cirkels periferi har samma avstånd till mittpunkten.

Med hjälp av dynamisk programvara kan man enkelt kontrollera om en konstruktion stämmer genom att bara dra i några punkter.

Demonstration

Då man gör en passare-linjal-konstruktion i GeoGebra får man bara använda verktyg som motsvarar passare och linjal utan mätmöjligheter. Man kan exempelvis begränsa de tillåtna verkygen till:

Cirkel, Skärning mellan två objekt, Linje, och Sträcka

Här demonstreras hur man löser konstruktionsuppgiften i rutan nedan med hjälp av GeoGebra.

Om man vill visa hur en konstruktionen vuxit fram, kan man välja Navigationsfält för konstruktionssteg under Visa-menyn. Nedanför ritytan dyker det då upp en rad som fungerar som en bandspelare.

Övningar

Man vet inte riktigt bakgrunden till att cirkeln delas in i 360°. En teori är att det har att göra med det antika Babylonien där man räknade i basen 60; man kan då fråga sig hur talet 60 hänger ihop med talet 360. Nedanstående övningar visar hur 360 kan framträda då man räknar i basen 60 och går varvet runt.

För att få en känsla för cirkelmönster, kan man börja med att göra övningarna Geometri - Cirklar på linje och Geometri - Cirklar på cirkel.

Denna fil har den begränsade mängden verktyg, klicka på filen och spara den, eller använd appleten nedan.

Övning 1 - Likbent triangel

Konstruera en likbent triangel som en passare-linjal-konstruktion.

När du är klar kan du gömma alla hjälpobjekt.

Övning 2 - Liksidig triangel

Konstruera en liksidig triangel som en passare-linjal-konstruktion.

Observera att du kan göra cirklar genom existerande punkter.

Göm alla hjälpobjekt då du är klar. Man skall kunna flytta alla flyttbara punkter och det skall fortfarande vara en regelbunden triangel.

Övning 3 - Regelbunden hexagon

Gör en regelbunden hexagon, som en passare-linjal-konstruktion!