Kvadratiska funktioner

quadratic function

Det vanligaste sättet att skriva en kvadratisk funktion är att använda allmän form:

\[y=ax^2+bx+c\]

Om man vill analysera grafen till en kvadratisk funktion, eller studera sambandet mellan grafen och lösningar till andragradsekvationer, är två andra former lämpligare: vertexform och faktorform.

Vertexform

Övning 1

Lägg in en glidare Icon kallad k i ett GeoGebra fönster.

Skriv in funktionen \(y=x^2+k\).

Ändra värde på glidaren k!

Hur påverkar k grafens form? Hur påverkar k grafens position?

Övning 2

Lägg in ännu en glidare h i GeoGebra fönstret.

Ändra funktionen till \(y=(x-h)^2\)

Ändra värde på glidaren h!

Hur påverkar h grafens form? Hur påverkar h grafens position?

Övning 3

Skissa grafen till \(y=(x+1)^2+2\) på ett papper utan att använda teknologi!

Ändra GeoGebra-funktionen till \(y=(x-h)^2+k\). Rita grafen till \(y=(x+1)^2+2\) med hjälp av GeoGebra

Övning 4

Lägg in ännu en glidare a och ändra funktionen till \(y=a(x-h)^2+k\).

Ändra värde på glidaren a. Prova att lägga ett spår på grafen innan du ändrar glidarens värde.

Hur påverkar a grafens form? Hur påverkar a grafens position?

Övning 5

Skissa graferna till följande funktioner på ett papper utan att använda teknologi!

a) \(y=2(x-1)^2-2\)

b) \(y=-(x+1)^2+2\)

c) \(y=0.5(x-1)^2\)

Faktorform

Övning 6

Lägg in två glidare α och β i ett GeoGebra fönster.

Skriv in funktionen \(y=(x-\alpha )(x-\beta )\).

Ändra värde på glidarna!

Hur kan man bestämma värdet på α respektive β genom att studera grafen?

Övning 7

Lägg in ännu en glidare a i ett GeoGebra fönster.

Ändra funktionen till \(y=a(x-\alpha )(x-\beta )\).

Ändra värdet på glidaren a!

Hur påverkar värdet på a grafens skärningspunkter med axlarna?

Övning 8

Om du har en kvadratisk funktion på allmän form, hur skriver du om funktionen till

vertexform? faktorform?

Kan man alltid skriva om en funktion på allmän form till

vertexform? faktorform?

Om inte, varför?

Translation med vektor notation

Ändra funktionen till f(x)=sin(x) och f(x)=1/x

Grafen till \(g(x)\) i appleten ovan är grafen till \(f(x)\) parallellförflyttad 2 enheter längs x-axeln och -1 enhet längs y-axeln. Varje punkt på grafen till \(f(x)\) är parallellförflyttad längs vektorn \(\vec{v} \).

Image

Grafen till funktionen \(g(x)=f(x-h)+k\), är grafen till \(f(x)\) parallellförflyttad \(h\) enheter längs x-axeln och \(k\) enheter längs y-axis. Observera minustecknet framför \(h\).

Ändra funktionen till \(f(x)=\sin (x)\) i inmatningsrutan i appleten ovan och betrakta ekvationen för \(g(x)\). Ändra funktionen till \(f(x)=1/x\).

Använd verktyget Parallellförflytta objekt med vektor

Om man skriver in en funktion och lägger in en vektor (med verktyget Image Vektor), kan man använda verktyget Image Parallellförflytta objekt med vektor.

Gör an parallellförflyttad graf!

Förklaring

Grafen till \(g(x)=x^2+3\), är grafen till \(f(x)=x^2\) parallellförflyttad 3 enheter längs y-axeln.

Grafen till \(g(x)=(x+3)^2\), är grafen till \(f(x)=x^2\) parallellförflyttad -3 enheter längs x-axeln.

För att förstå varför det blir en negativ förflyttning längs x-axeln, kan man skriva den nya funktionen som \(f(x+3)=(x+3)^2\). Denna funktion har sitt minimum då uttrycket innanför parentesen är 0, dvs då \(x+3=0 \Leftrightarrow x=-3 \).

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se