Räta linjens ekvation

image

k-form

Övning 1

image

Lägg in en linje i ett GeoGebra-ark genom att använda verktyget Linje genom två punkter icon.

Högerklicka på linjen i algebrafönstret och ändra ekvationen till formen y = m x + c.

På svenska används enligt konvention andra bokstäver, man brukar skriva y = k x + m, i GeoGebra används y = a x + b om man har svenska som språk.

Flytta på punkterna som definierar linjen och betrakta uttrycket i algebrafönstret. Linjens ekvation visas på formen \[y=kx+m\]

för nästan alla linjer. För vilken sorts linjer ser ekvationen annorlunda ut? Varför?

Övning 2

Talen \(k\) och \(m\) representerar riktningskoefficienten (lutningen) och skärningen med y-axeln. Om man vill variera dessa tal, kan man använda glidare. En glidare kan anta ett antal värden inom ett givet intervall.

Ta bort linjen från den föregående övningen och lägg in två glidare Icon med namnen k och m.

Justera \(k\) och \(m\) så att följande linjer visas:

  • En linje som skär y-axeln i punkten (0,2) med lutningen 2
  • En linje som skär y-axeln i punkten (0,1) med lutningen 0
  • En linje som skär y-axeln i punkten (0,3) med lutningen -3
  • En linje som skär y-axeln i punkten (0,-2) med lutningen 0.5

Övning 3

Lägg ett spår på linjen genom att högerklicka på linjen och markera Spår på.

Förklara det mönster som framträder då man ändrar glidaren k!

Zooma in eller ut för att "sudda" mönstret.

Förklara det mönster som framträder då man ändrar glidaren m!


Enpunktsform

Lägg in tre glidare Icon med namnen k, a och b i GeoGebra.

Skriv in funktionen \(y=k(x-a)+b\).

Se till att Rutnätet visas.

Övning 4

Låt \(a=1\) och \(b=1\)!

Lägg ett spår på linjen och dra i glidaren k.

Vilken punkt ligger på linjerna oavsett värdet på \(k\)?

Övning 5

Låt \(a=3\) och \(b=-2\)!

Zooma in eller ut för att sudda mönstret med linjer och dra i glidaren k för att göra ett nytt mönster.

Vilken punkt ligger på linjerna oavsett värdet på \(k\)?

Övning 6

Använd slutsatserna i övningarna ovan för att formulera ett generellt påstående om linjen \(y=k(x-a)+b\). Beskriv vilken inverkan bokstäverna \(a\), \(b\) och \(k\) har på linjens utseende. Förklara varför påståendet stämmer genom att betrakta linjens ekvation.


Ekvation eller funktion

Uttrycket \(y=kx+m\) kan betraktas dels som en ekvation och dels som en funktion.

Uttrycket är en funktion eftersom den definierar en regel som för varje \(x\)-värde ger ett entydigt värde på \(y\). Vertikala linjer är inte funktioner eftersom ett enda \(x\)-värde motsvaras av oändligt många \(y\)-värden, det finns alltså ingen regel som bestämmer ett entydigt \(y\)-värde. Vertikala linjer kan inte heller skrivas på \(k\)-form.

Uttrycket kan även ses som en ekvation; en ekvation är sann för vissa värden på variablerna i ekvationen; och falsk för andra värden på variablerna. De \(x\)-värden och \(y\)-värden som uppfyller ekvationen, dvs som gör likheten sann, är koordinater för de punkter som ligger på linjen. Man kan alltså kontrollera om en punkt ligger på linjen genom att stoppa in punktens x-koordinat och y-koordinat i ekvationen och se om likheten då är sann.

Du skall kunna detta

Du skall veta hur man bestämmer linjens ekvation då linjens riktningskoefficient och en punkt på linjen är givna.

Du skall veta hur man bestämmer linjens ekvation då två punkter på linjen är givna.

Om man arrangerar om enpunktsformeln, får man en ekvation som påminner om definitionen av riktningskoefficienten, dvs att riktningskoefficienten är ändringen i y-led delat med ändringen i x-led \[y=k(x-a)+b\Leftrightarrow \frac{y-b}{x-a}=k \]


Allmän form

Eftersom lutningen inte är definierad för vertikala linjer, kan man inte skriva vertikala linjer på formen \(y=kx+m\).

Ekvationen för en vertikal linje skrivs \(x=a\) där \(a\) är något tal.

Då man använder allmän form, skriver man ekvationen för en linje som \[ax+by=c\]

där \(a\), \(b\) och \(c\) är tre tal; och där \(x\) och \(y\) är variabler. En punkt ligger på linjen om och endast om punktens koordinater uppfyller ekvationen, dvs om likheten är sann då man sätter in värdena på koordinaterna \(x\) respektive \(y\).

Man kan skriva ekvationen för alla linjer på allmän form. För vertikala linjer är \(b=0\).

Övning 7

Lägg in tre glidareIcon med namnen a, b and c i ett GeoGebra-fönster.

Skriv in ekvationen \(ax+by=c\) i Input raden.

Skriv in två variabler variabel1=c/a och variabel2=c/b i Input raden.

Lägg ett spår på linjen.

Ändra värdet på glidaren a. Beskriv detaljerat det du ser!

Ändra värdet på glidaren b. Beskriv detaljerat det du ser!

Förklara dina observationer!

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se