Spindelvävsdiagram

När man itererar den rekursiva ekvationen

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= 1+\frac{1}{a_n},n\geq0 \end{align*} \right. \]

så:

1. har man ett tal; till att börja med \(a_0\)
2. bestämmer man funktionsvärdet av talet; det första värdet är \(f(a_0)\)
3. får man ett nytt tal från funktionsvärdet; \(f(a_0)\) blir det nya talet \(a_1\)
4. repetera från 1

Man kan illustrera stegen grafiskt med ett spindelvävsdiagram.

Ändra värdet på glidaren steps!

Repellerande och attraherande fixpunkter med hjälp av ett spindelvävsdiagram

Flytta punkten a0 för att se vilken av fixpunkterna som är repellerande och vilken som är attraherande.

Funktionens lutning

En punkt som är "tillräckligt nära" en attraherande fixpunkt kommer att närma sig fixpunkten då den itereras. Funktionens lutning vid fixpunkten avgör huruvida fixpunkten är attraherande eller repellerande (eller varken det ena eller det andra),

Ta reda på för vilka lutningar en fixpunkt är attraherande respektive repellerande.

Övning 1

Den rekursiva ekvationen

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= 1+\frac{1}{a_n},n\geq0 \end{align*} \right. \]

har två fixpunkter \(x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) och \(x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\).

Visa att en av dem är repellerande och att en är attraherande genom att derivera funktion.

Övning 2

Ekvationen \(x=\cos (x)\) kan inte lösas algebraiskt.

Om man betraktar spindelvävsdiagrammet ser man att fixpunkten kommer att attrahera alla punkter, man måste inte starta nära fixpunkten.

Eftersom fixpunkten också är gränsvärdet till motsvarande rekursiva ekvation, kan den rekursiva ekvationen användas till att lösa ekvationen.

Använd Octave till att iterera motsvarande rekursiva ekvation och lös därmed ekvationen \(x=\cos (x)\) numeriskt.