Gränsvärde när x går mot oändligheten

Notation

Man kan på ett intuitivt sätt förstå att då x blir större och större så blir 1/x mindre och mindre. Gränsvärdet av 1/x när x går mot oändligheten är noll. Detta skrivs så här:

\[\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{x}=0\]

"lim" är en förkortning av det latinska ordet limes (vilket betyder gräns). "lim" skall uttalas limes. Notera att ett likhetstecken används, gränsvärdet är lika med noll.

Ett annat sätt att skriva gränsvärden på är:

\[\frac{1}{x}\rightarrow 0 \text{ då } x\rightarrow \infty \]

Här används istället pilar, 1/x är aldrig lika med noll, men det går mot noll.

Blanda inte "lim" och pilar, eller uttryck och likhetstecken; välj en av formerna ovan!

I det allmänna fallet kallar vi gränsvärdet A, och skriver det som

\[\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A \]

Den exakta gränsvärdesdefinitionen ingår inte i kursplanen. Informellt innebär denna att värdet på \(f(x)\) kan komma godtyckligt nära A om vi bara gör x stort nog.

Horisontella asymptoter

Om en funktion \(f(x)\) har gränsvärdet A då x går mot oändligheten så kommer grafen av \(f(x)\) att närma sig linjen \(y=A\). Linjen \(y=A\) kallas en horisontell asymptot till \(f(x)\).

Övningar

Rita upp grafen till följande funktioner och avgör om de har en horisontell asymptot då x→∞

1. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{3x^3-x+1}{2x^3+2x^2} }\)
2. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-2x}{1+2x} }\)
3. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1-2x}{1+2x^2} }\)
4. \(\displaystyle{f(x)=\frac{1+2x^2}{1+2x} }\)
5. \(\displaystyle{f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^3+x^2+x+1} }\)
6. \(\displaystyle{f(x)=\frac{4x^4+x^3}{5x^4+x^2+1} }\)
7. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{\sin x}{x} }\)
8. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{x}{\sin x} }\)
9. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{x}{2+\sin x} }\)
10. \(\displaystyle{f(x)=2+\frac{1}{\sqrt{x}-100\cos x} }\)

Kan man bestämma horisontella asymptoter till en rationell funktion (vad är en rationell funktion) utan att använda någon elektronisk apparat?

Kan du lista ut gränsvärdena 7-10 utan att rita graferna?