Gränsvärden när x går mot a

Funktionen

\[f(x)=\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} \]

är inte definierad då \(x=2\), den har emellertid ett gränsvärde då \(x\rightarrow 2\), gränsvärdet är 4. Vi skriver detta på följande vis

\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} = 4 \]

I det här fallet är det enkelt att bestämma gränsvärdet utan att rita grafen

\[\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^2+4x-12}{x^2-2x} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{(x-2)(x+6)}{x(x-2)} = \lim_{x\rightarrow 2} \frac{x+6}{x} =\frac{2+6}{2}=4\]

Oändligheten som gränsvärde, vertikala asymptoter

Uttrycket \(1/x^2\) blir större och större då \(x\) närmar sig noll. Detta kan skrivas som:

\[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2}=\infty\]

Trots skrivsättet ovan, brukar inte oändligheten räknas som ett gränsvärde eftersom oändligheten inte är ett tal (såvida man inte definierar den som ett tal, se Extended real number line).

Grafen till funktionen \(f(x)=1/x^2\) närmar sig linjen \(x=0\) då \(x\rightarrow 0\), linjen \(x=0\) är en vertikal asymptot.

Notera att detta gäller inte generella funktioner. Se exempelvis övning 1 nedan.

Låt

\[f(x)=\frac{x^2-3}{x^2+2x-8} \]

Nämnaren antar värdet noll då \(x=2\) och då \(x=-4\). Funktionen har två vertikala asymptoter.

Man kan närma sig värdet \(x=2\) från två håll, antingen är \(x\lt 2\) eller så är \(2\lt x\). För att ett gränsvärde skall existera måste gränsvärdena från de två hållen vara samma. I detta fall finns alltså inget gränsvärde då \(x\) närmar sig två, inte ens oändligheten. Däremot har funktionen en vertikal asymptot. Man kan markera att ett uttryck har olika gränsvärden beroende på om man närmar sig ett värde från höger eller vänster. Man använder antingen ett + (\(x\) är större än) eller ett - (\(x\) är mindre än).

\[\lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{x^2-3}{x^2+2x-8} = \infty \]

\[\lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{x^2-3}{x^2+2x-8} = -\infty \]

Svåra gränsvärden

I vissa fall kan man använda sig av sunt förnuft för att bestämma gränsvärden:

\[\frac{1}\infty = 0 \hspace{1 cm} \frac{1}{0}=\infty \hspace{1 cm} 1+\infty=\infty \hspace{1 cm} 2\cdot \infty = \infty\]

(Skriv inte så där ↑ på ett prov)

I andra fall är det svårare:

\[\frac{\infty}\infty = ? \hspace{1 cm} \frac{0}{0}=? \hspace{1 cm} \infty-\infty=? \hspace{1 cm} 0\cdot \infty = ?\]

Övningar

Rita grafen till följande funktioner och bestäm gränsvärdet, om det existerar.

1. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\sin\left( \frac{1}{x}\right)} \)
2. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} x \cdot \sin\left( \frac{1}{x}\right)} \)
3. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} } \)
4. \( \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\cos x -1}{x} } \)