Formeln, lösning
Börja med en cirkel med radie r och en n-gon med en känd sida \(s_0\).
I bilden till höger är \(OB=OC=r\).
Använd Pythagoras sats på triangeln \(\Delta OBD\):
\[OD=\sqrt{r^2-\frac{s_0^2}{4}}\]
Längden blir
\[CD=r-OD=r-\sqrt{r^2-\frac{s_0^2}{4}}\]
Använd Pythagoras sats på triangeln \(\Delta BCD\):
\[BC=\sqrt{BD^2+CD^2}=\sqrt{\frac{s_0^2}{4}+\left(r-\sqrt{r^2-\frac{s_0^2}{4}}\right)^2} \]
Detta kan förenklas som nedan.
\[BC=\sqrt{\frac{s_0^2}{4}+r^2-2r\sqrt{r^2-\frac{s_0^2}{4}}+\left(r^2-\frac{s_0^2}{4} \right)} = \sqrt{2r^2-2r\sqrt{r^2-\frac{s_0^2}{4}}}\]
Den sista förenklingen behövs inte för att skriva in formeln i kalkylbladet.
En hexagon
En regelbunden hexagon kan delas upp i sex liksidiga trianglar med de inre vinklarna 60°. Om hexagonen läggs in i en cirkel med radien 1, kommer hexagonens sidlängd att vara 1. Vi får följande rekursionsformel för polygonernas sidlängder:
\[ \left\{ \begin{eqnarray} s_0 &=& 1 \\ s_{n+1} &=& \sqrt{2-2\sqrt{1-\frac{s_n^2}{4}}} \end{eqnarray} \right. \]
där \(s_0\) är hexagonens sidlängd och \(s_n\) sidlängden till en 6⋅2n-hörning då n>1.
by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License
