sin(x)/x, bevis

Man kan enkelt bestämma gränsvärdet

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} \]

numeriskt. Skall man bevisa vad gränsvärdet är, måste man använda geometri.

För att gränsvärdet skall bli ett enkelt tal, måste man använda radianer för att mäta vinklar, detta är anledningen till att grader aldrig används då man håller på med matematisk analys. Detta gränsvärde används nämligen då man deriverar de trigonometriska funktionerna.

Övning

Med beteckningar som i appleten ovan:

Bestäm areorna av trianglarna \(\Delta OAP\), \(\Delta OBC\) och arean av cirkelsektorn \( OBP \). Uttryck dessa areaor med hjälp av \(\alpha \), \(\sin (\alpha)\) och \(\cos (\alpha)\).

Använd olikheterna \(\Delta OAP \lt OBP \lt \Delta OBC \) till att bestämma gränsvärdet

\[\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\alpha}{\sin{\alpha}} \]

Arrangera sedan om olikheterna för att bestämma gränsvärdet

\[\lim_{\alpha \rightarrow 0}\frac{\sin \alpha }{\alpha} \]