∅  
 

Spindelvävsdiagram

Iterationer av den rekursiva ekvationen

\[ \left\{ \begin{align*} a_0 &= c \\ a_{n+1} &= 1+\frac{1}{a_n},n\geq0 \end{align*} \right. \]

kan illustreras grafiskt med så kallade spindelvävsdiagram.

Flytta den röda punkten för att se vilken av fixpunkterna som är repellerande och vilken som är attraherande.

Funktionens lutning

En punkt som är "tillräckligt nära" en attraherande fixpunkt kommer att närma sig fixpunkten då den itereras. Funktionens lutning vid fixpunkten avgör huruvida fixpunkten är attraherande eller repellerande (eller varken det ena eller det andra),

Ta reda på för vilka lutningar en fixpunkt är attraherande.

Övningar

Övning 1 - Gör ett spindelvävsdiagram i GeoGebra

  • Lägg in en funktion \(f(x) = 1+1/x\), en linje \(y = x\) och en punkt \(A\) på \(x\)-axeln.
  • Använd verktygen Vinkelrät linje och skärningspunkter för att markera punkter i spindelvävsdiagrammet. Zooma in när du närmar dig fixpunkten. Låt diagrammet börja i punkten \(A\).
  • Dölj alla linjer och lägg in sträckor mellan punkterna. Dölj alla punker utom \(A\).
  • Välj verktyget Inmatningsfält. Skriv in f(x) = som förklaring och länka fältet till funktionen \(f(x)\).

Övning 2 - Gör ett spindelvävsdiagram med hjälp av kalkylbladet.

  • Lägg in en funktion \(f(x) = 1+1/x\), en linje \(y = x\) och en punkt \(A\) på \(x\)-axeln.
  • Välj Visa -> Kalkylblad i menyn.
    • Lägg in x(A) i cell A1
    • Lägg in f(A1) i cell B1
    • Lägg in (A1, B1) i cell C1
    • Lägg in (B1, B1) i cell D1
    • Lägg in x(D1) i cell A2
  • För att visa sträckorna:
    • Lägg in Sträcka[C1, D1] i cell E1
    • Lägg in Sträcka[C2, D1] i cell F2
  • Gör relativa kopior.
  • Välj verktyget Inmatningsfält. Skriv in f(x) = som förklaring och länka fältet till funktionen \(f(x)\).

Övning 3 - Repellerande och attraherande fixpunkter

Använd en GeoGebra-fil som visar ett spindelvävsdiagram. Lägg in en glidare k och testa spindelvävsdiagrammet på funktionen:

\[f(x) = 1+k x\]

För vilka lutningar är fixpunkten attraherande/repellerande?

Övning 4 - Logistisk avbildning

Använd en GeoGebra-fil som visar ett spindelvävsdiagram. Lägg in en glidare r och testa spindelvävsdiagrammet på funktionen

\[f(x) = r x\cdot (1-x)\]

där \(0\le r \le 4\). Försök hitta värden på r som åskådliggör:

  • konvergens mot \(0\).
  • konvergens mot en fixpunkt \(\ne 0\).
  • hopp mellan två olika värden.
  • hopp mellan fyra olika värden.
  • ett till synes kaotiskt uppförande.

by Malin Christersson under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike 2.5 Sweden License

www.malinc.se

 

  ∅